[发明专利]周期性手征蜂窝结构材料等效弹性模量预测方法

权利要求书

1.一种周期性手征蜂窝结构材料等效弹性模量预测方法，其特征在于包括以下步骤：

步骤一、手征蜂窝简化为半径为r的圆环及与其相切的长为L的韧带组成，韧带的有效梁变形部分长度为l：

l＝L-2l₁

其中α＝0.9；式中l₁表示韧带与节圆相切部分长度，α为系数；

步骤二、取手征性蜂窝结构单胞，由圆环和六条长为L/2的韧带组成；圆环的圆心距为R，圆环半径为r，圆环和韧带的壁厚为t，结构垂直于纸面的厚度为b，韧带与圆心连线夹角为β，材料本身杨氏模量E_s＝1.6GPa，泊松比v＝0.3；

步骤三、对周期性手征蜂窝结构进行单轴加载模拟，根据结构的变形机理，假设单胞第i条韧带的受力状态：受力大小F_i，力的方向角α_i，并设为未知量，i取值范围为1、2、3；

步骤四、根据结构的变形机理，设计未知量第i条韧带的转角γ_i，计算每条韧带的变形，得到每条韧带变形后的形状及位置；

(a)AB边变形分析；

A₀B₀为变形前位置，曲线AB为变形后状态，A’B为B点处切线；为节圆转角，α₁为A点受力F₁与A₀B₀的夹角，γ为AB上任一点处的转角；

根据梁的弹性弯曲理论，AB的变形微分方程为：

式中，I表示梁的惯性矩，s表示梁上任一点的位置；

化简得到：

式中，C为常数；已知当时，γ＝γ₁转角达到最大，将这一条件代入上式得将C代入上式整理得：

化简得微分表达式：

式中，S＝s/l(0≤S≤0.5)，分别表示无量纲位置和无量纲力；

引入中间量η，令得：

两边积分得到无量纲力表达式：

式中，参数F(m₁)表示第一类完全椭圆积分，F(η₁,m₁)表示第一类不完全椭圆积分；

然后求AB的投影长度；建立局部坐标系XBY，以力F₁方向为X轴，其垂直方向为Y轴；沿力方向及垂直方向投影无量纲长度分别为：

并进一步推导计算，得：

式中，E(m₁)表示第二类完全椭圆积分，E(η₁,m₁)表示第二类不完全椭圆积分；

AB在全局坐标系下的投影长度为：

x₁＝[X₁cos(α₁-β)+Y₁cos(α₁-β-π/2)]·l

y₁＝[X₁sin(α₁-β)+Y₁sin(α₁-β-π/2)]·l

A、B点坐标为：

x_A＝x_B+x₁

y_A＝y_B+y₁

(b)CD边变形分析；

C₀D₀为变形前位置，曲线CD为变形后状态，C’D为D点处切线；为节圆转角，α₂为C点受力F₂与初始位置C₀D₀的夹角，γ为CD上任一点处的转角；

坐标系xOy为全局坐标系；以力F₂方向为X轴，垂直方向为Y轴，建立局部坐标系XDY；

根据梁的弹性弯曲理论，CD的变形微分方程为：

化简得到无量纲力表达式：

式中，参数

求CD在局部坐标系下投影长度；沿力方向及垂直方向投影无量纲长度分别为：

CD在全局坐标系下的投影长度为：

x₂＝[X₂cos(α₂-β+π/3)+Y₂cos(α₂-β-π/6)]·l

y₂＝[X₂sin(α₂-β+π/3)+Y₂sin(α₂-β-π/6)]·l

求C、D点坐标为：

x_C＝x_D+x₂

y_C＝y_D+y₂

(c)EF边变形分析；

E₀F₀为变形前位置，曲线EF为变形后状态，E’F为F点处切线；为节圆转角，α₃为E点受力F₃与初始位置E₀F₀的夹角，γ为EF上任一点处的转角；

坐标系xOy为全局坐标系；以F为原点，以力F₃方向为X轴，垂直方向为Y轴，建立局部坐标系XFY；

根据梁的弹性弯曲理论，EF的变形微分方程为：

化简得无量纲力表达式：

式中，参数

求EF在局部坐标系下投影长度；沿力方向及垂直方向投影无量纲长度分别为：

EF在全局坐标系下的投影长度为：

x₃＝[X₃cos(α₃-β-π/3)+Y₃cos(α₃-β-5π/6)]·l

y₃＝[X₃sin(α₃-β-π/3)+Y₃sin(α₃-β-5π/6)]·l

求E、F点坐标为：

x_E＝x_F+x₃

y_E＝y_F+y₃

步骤五、根据单胞处于平衡状态及单胞变形为中心对称形式，列出力F_i及韧带位置满足的平衡方程组，其未知量为α_i、γ_i；

结构变形后C、E两点关于横向轴线上下对称，变形后仍然满足：

x_C-x_E＝0

y_C+y_E＝0

变形前横向节圆连线水平，变形后已然满足，即：

y_A＝0

变形前C、E点横坐标为A点横坐标的1/2，变形后仍然满足，即：

x_A-2x_E＝0

横向单轴拉伸时，手性蜂窝结构横向排与排之间的等效作用力为零，得：

F₃sin(α₃-β-π/3)-F₂sin(α₂-β+π/3)＝0

单轴拉伸时，假设单胞上中心对称的两条韧带受力大小相等方向相反，因此单胞自然满足静力平衡，同时单胞满足力矩平衡，即：

2F₁x_Asinω₁+2F₂(x_Csinω₂-y_Ccosω₂)+2F₃(x_Esinω₃-y_Ecosω₃)＝0

式中，定义参数为：

根据前文中的分析，以上两式改写为：

对于手性蜂窝单轴拉伸时，给定一个转角值，6个基本变量：α₁、γ₁、α₂、γ₂、α₃、γ₃；并联立以上六个方程组成非线性方程组；

,

其中

步骤六、利用牛顿迭代法求解非线性方程组，得出α_i、γ_i各量；

非线性方程组通过Newton-Raphson迭代法求得；为了保证迭代的收敛性，为分步加载；在迭代过程中，第一步迭代各变量的初值取结构线性变形结果的近似值，第k步迭代的初值取第k-1步的结果；至此，得到各个载荷步下的6个基本变量的解；

步骤七、计算结构等效应力、等效应变，得到等效杨氏模量；

求得变形后A点的横坐标后，A点的位移即是手性蜂窝结构的变形，等效应变为：

单轴拉伸下AB、CD、EF三条韧带合力在横向投影即为单胞的等效外力，等效应力为：

改写为：

最后得等效拉伸杨氏模量为：

由此得到六韧带手征蜂窝结构等效杨氏模量计算表达式。