[发明专利]一种基于修正近似双曲正切函数的平滑l0范数方法

说明书

本发明公开了一种基于修正近似双曲正切函数的平滑l₀范数方法，该方法采用一种修正近似双曲正切函数来逼近l₀范数，该修正近似双曲正切函数具有较优的逼近性能，然后利用牛顿法求解该修正近似双曲正切函数的极值问题，进而以较高的精度重构出稀疏信号，能够显著地提高SL0算法的稀疏重构性能。

技术领域

本发明属于稀疏信号恢复技术领域，具体涉及一种基于修正近似双曲正切函数的平滑l₀范数方法。

背景技术

在传统信号采样理论中，为保证信号的无失真输出，需要的采样率至少为信号带宽的两倍。因此，在处理较大带宽的信号时，传统信号采样会对硬件系统造成很大的压力。压缩感知(Compressing Sensing,CS)是一种新型的信号采样理论，它只需要极少的稀疏信号采样值即可利用重构算法完成信号的精确重构，现已广泛地应用在雷达成像、信号处理及医学成像等领域。稀疏重构问题等价于欠定方程组y＝Dx的稀疏求解问题，其中，为测量矩阵，是感知矩阵，是稀疏向量。稀疏问题的求解模型可表示为

式中，||·||₀表示l₀范数，即向量非零元素的个数。l₀范数最小化问题是NP-hard问题，从而导致式(1)难以求解。基追踪(Basic Pursuit,BP)算法是解决上述问题的一种有效的算法，该算法利用l₁范数来代替l₀范数，由此式(1)转变为

然后通过线性规划对式(2)进行求解，从而实现对稀疏信号的重构。尽管BP算法能够有效的解决稀疏信号重构问题，但是该算法的计算量较大，不能快速重构稀疏信号。此外，还有许多其它稀疏重构算法，比如，迭代加权最小二乘(Iterative Re-weighted LeastSquares,IRLS)算法、正交匹配追踪(Orthogonal Matching Pursuit,OMP)算法以及平滑l₀范数(Smoothed l₀norm,SL0)算法等。其中，SL0算法利用高斯函数来逼近l₀范数，并通过最速下降法和梯度投影原理实现稀疏信号的重构。尽管SL0算法能够快速重构稀疏信号，但是该算法所采用的高斯函数对l₀范数的逼近性能较差，并且在利用最速下降法解决该函数极值问题时会产生“锯齿效应”，从而导致SL0算法的重构精度较低。文献[1](Zhang Y,Yu J,Bai H,et al.Improved Sparse Signal Reconstruction based on ApproximateHyperbolic Tangent Function with Smoothed l₀Norm[J].International Journal ofScience,2017,4(2):201-210.)提出一种牛顿平滑l₀范数(Newton Smoothed l₀norm,NSL0)算法，该算法采用近似双曲正切函数来逼近l₀范数，并利用修正牛顿法解决函数的极值问题，从而提高了SL0算法的重构性能。文献[2](Feng J J,Zhang G,Wen F Q.MIMO radarimaging based on smoothed l₀norm[J].Mathematical Problems in Engineering,2015,(8):1-10.)采用另一种近似双曲正切函数来逼近l₀范数，并在牛顿方向上搜寻该函数的极值，进而获得一种近似SL0(Approximate Smoothed l₀norm,ASL0)算法，然后利用该算法进行MIMO雷达目标成像，有效地提高了其成像性能。SL0算法的核心思想在于采用高斯函数来逼近l₀范数，从而将l₀范数最小化问题转变成平滑函数的极值问题，避免了对l₀范数最小化问题的直接求解。因此，为了进一步提高SL0算法对稀疏信号的重构性能，构造一种逼近性能更优的函数来近似l₀范数并求解该函数所对应的稀疏求解问题是非常有必要的。