[发明专利]一种基于非等距网格下的有限体积流场数值计算方法

权利要求书

1.一种基于非等距网格下的有限体积流场数值计算方法，其特征在于，在非等距不均匀笛卡尔网格中，构造5阶精度的基本加权无振荡格式进行流场内的数值计算模拟，具体包括以下步骤：

步骤1、在流场数值计算区域内，生成非等距笛卡尔坐标系；

步骤2、在建立的非等距笛卡尔坐标系中构造有限体积WENO格式，其线性权可以任意取值且与网格尺度和类型无关，并且能保持格式的五阶精度，随后结合Runge-Kutta时间离散方法进而求解无粘流体的控制方程组，得到流场内所有非等距网格单元点的物理量的高精度数值近似值；

所述步骤1中，非等距笛卡尔坐标系具体为：

随机网格：

Δx_i＝0.5Δx+(1.5Δx-0.5Δx)·random_number(i)，

Δy_j＝0.5Δy+(1.5Δy-0.5Δy)·random_number(j)，

其中，下标i，j分别表示x和y方向的网格序号，Δx_i表示x方向上第i个网格对应的步长，Δy_j表示y方向上第j个网格对应的步长，Δx表示x方向上的平均步长，Δy表示y方向上的平均步长，random_number(i)和random_number(j)分别表示第i个和第j个网格对应的0到1之间的随机数；

或周期变化网格：

其中，L_x，L_y分别表示计算区域x方向和y方向的长度，N_x，N_y分别表示计算区域x方向和y方向的网格单元数；

或伸缩网格：

Δx_i＝Δx_i-1·α，

Δy_j＝Δy_j-1·β，

其中，α和β分别表示为x方向和y方向的伸缩比；

所述步骤2具体包括：

2.1对无粘流体的控制方程组两边同时在目标单元内积分，构造有限体积WENO格式中的空间导数项，进而得到半离散的有限体积格式；无粘流体的控制方程组为：

其中，t表示时间变量,x,y表示空间变量,U＝(ρ,ρu,ρv,E)^T表示守恒变量，f(U)＝(ρu,ρu²+p,ρuv,u(E+p))^T，g(U)＝(ρv,ρuv,ρv²+p,v(E+p))^T，f(U),g(U)表示通量，f(U)_x表示f(U)对x求导，g(U)_y表示g(U)对y求导，ρ,p,u,v,E分别表示流体密度、压强、水平方向速度、竖直方向速度以及能量，T表示转置，U₀表示初始状态值；

2.2利用Runge-Kutta时间离散方法求解半离散有限体积格式，从而得到控制方程组的时空全离散有限体积格式，其中的一组线性权可以任意取值，与网格尺度和类型无关，只需满足和为1的正数即可；

2.3时空全离散有限体积格式具体为时间方向上的一个迭代公式，给定流场初始状态的相关物理量，根据迭代公式不断循环，即可得到流场某一时刻或稳定状态时的物理量的高精度近似值；

所述步骤2.1具体包括：

对控制方程两边同时在目标单元I_i,j内积分有：

其中，表示守恒变量U(x,y,t)在目标单元I_i,j内的平均值，表示对时间变量t求导，∫_a^bΦdx表示对应的被积函数Φ在对应积分区间[a,b]内积分；

构造有限体积WENO格式中的空间导数项，具体过程如下：

2.1.1利用三点Gauss求积公式求解上式右端中的积分项，即

其中，G_m表示三点Gauss求积公式对应的求积节点；

2.1.2利用Lax-Friedrichs数值通量近似代替Gauss求积公式中每个求积节点的流通量，即

其中，表示对应点右侧高阶近似值，表示对应点左侧高阶近似值，表示对应点上侧高阶近似值，表示对应点上侧高阶近似值，α表示通量f(U)或g(U)对守恒变量U求导的最大值；

2.1.3在非等距网格下高阶近似的值，其它点的高阶近似值类似求得，具体如下：

2.1.3.1固定空间变量y，即假设y＝y_k，利用网格平均值得到的高阶近似值，过程如下：

a)选择一个母模板进而得到一个四次重构多项式p₁(x,y_k)，其满足以下条件：

得到其具体表达式为：

其系数满足线性方程组U＝C×A，具体形式如下：

A＝(a₁,a₂,a₃,a₄,a₅)^T,

其中U,A表示向量，C表示系数矩阵，T表示对向量或矩阵转置；

b)选择两个小模板从而得到两个线性重构多项式p₂(x,y_k)，p₃(x,y_k)，其分别满足：

其具体表达式为：

c)任意选择三个小于1且和为1的正数作为线性权γ_n(n＝1,2,3)；

d)计算每个模板对应的光滑指示器β_n,k(n＝1,2,3)，其计算公式如下：

其中，n表示对应多项式的序号，α表示求和指标，r表示对应多项式的次数，表示多项式p_n(x,y_k)对自变量x求α次偏导数；

对应光滑指示器的具体表达式为：

e)根据线性权γ_n和光滑指示器β_n,k求非线性权ω_n,k，公式如下：

其中，为计算过程中的过渡值；

f)得到的重构近似表达式：

2.1.3.2分别令y＝y_k-2,y_k-1,y_k+1,y_k+2，重复步骤2.1.3.1，从而得到的值；

2.1.3.3固定空间变量x，即分别令x＝x_i+1/2和x＝x_i-1/2，利用步骤2.1.3.1和步骤2.1.3.2得到的值，得到的最终高阶近似表达式：

2.1.3.4重复步骤2.1.3.1到步骤2.1.3.3，类似得到的值；

2.1.4将步骤2.1.3的值代入步骤2.1.2，再代入步骤2.1.1，即可得到流体控制方程组的半离散有限体积格式，并表示为：