[发明专利]一种阵列误差条件下的互质阵列DOA估计新方法

权利要求书

1.一种阵列误差条件下的互质阵列DOA估计新方法，其特征在于，包括：

阵列误差存在时互质阵列的一般信号模型：

当阵列位置误差存在时，可得互质阵列的输出信号模型为：

y(t)＝A_p(θ)x(t)+n(t) (1)

式中，令y(t)为阵列输出Y的第t列，x(t)为来波信号，t∈[L]，A_p(θ)为含有阵元位置误差的阵列流行矩阵；设为互质阵列个阵元的阵元位置误差矢量，d₀＝λ/2为基本阵元间距，可得A_p(θ)的表达式为：

在DOA估计中，通常考虑阵元的相对位置差，可得阵元位置误差的理论解集为系数为由个1组成的矢量，为增强求解的唯一性，选择第一个阵元为基准阵元，计算其它阵元与第一个阵元的相对位置误差，即设为待估计的相对阵元位置误差矢量，C_p＝diag([0,c_p])，A_p1(θ)＝A(θ)diag([j2πd₀sinθ₁/λ₀,...,j2πd₀sinθ_G/λ₀])，A(θ)为无误差情况下的阵列流行矩阵，当阵元位置误差较小时，对A_p(θ)在处进行一阶泰勒展开，可得：

A_p(θ)＝A(θ)+C_pA_p1(θ) (3)

式中：

式中，为与c_p无关的参数矩阵；对式(5)关于c_p求导，可得：

式中，为的第i列，只有第(i+1,i+1)个元素为1，其它元素均为0，c_p,i为c_p的第i个元素；将式(4)代入式(1)，可得阵元位置误差存在时的信号模型为：

a)阵元幅相误差存在时的信号模型

当阵元幅相误差存在时，互质阵列的输出信号模型为：

y(t)＝A_g(θ)x(t)+n(t)＝C_gA(θ)x(t)+n(t) (8)

式中，和分别为互质阵列个阵元的幅度增益误差和初始相位误差，A_g(θ)为包含幅相误差的阵列流行矩阵，其表达式为：

类似于阵元位置误差的情况，幅相误差的理论解集为C_ge＝b₀C_g，系数且b₀≠0，为增强求解的唯一性，选择第一个阵元为基准阵元，计算其它阵元与第一个阵元的相对误差，即α₁＝1，对式(8)中C_gA(θ)x(t)进行展开，可得：

式中，

设对式(11)关于c_g求导，可得：

式中，为的第i列，只有第(i+1,i+1)个元素为1，其它元素均为0，c_g,i为c_g的第i个元素，将式(10)代入式(8)，可得阵元幅相误差存在时的信号模型为：

b)阵元耦合存在时的信号模型

类似于幅相误差存在的情况，阵元耦合误差也是一种乘性误差，设阵元耦合矩阵为C_c，A_c(θ)为包含阵元耦合误差的阵列流行矩阵，此时式(8)的信号模型可改写为：

y(t)＝A_c(θ)x(t)+n(t)＝C_cA(θ)x(t)+n(t) (14)

设C_c,ij为C_c的第i行第j列元素，即阵元i和阵元j的耦合系数；当两个阵元的间距大于一定距离时，可忽略阵元耦合效应，设m_max为忽略耦合效应的临近距离系数，为耦合系数矢量，可得：

式中，d_i和d_j分别为阵元i和阵元j的位置，当m＝0时，易得c_c,0＝1；设有CACIS型互质阵列，共有个物理阵元，阵列系数M＝2,N＝3,p＝2，基本阵元间距为λ/2，m_max＝2，其阵元耦合矩阵C_c为：

对于阵元数和基本阵元间距相同的均匀线阵，当m_max＝2时，其阵元耦合矩阵为：

对比式(16)和式(17)可见，阵元数相同的均匀线阵和互质阵列，其阵元耦合矩阵存在较为明显的差异；均匀线阵由于阵元间距相同，其阵元耦合矩阵是Toeplitz矩阵，具有明显的结构特征，而互质阵列由于阵元位置的稀疏性，其阵元耦合矩阵不具备Toeplitz性，耦合系数所在位置不确定性强，只能通过式(15)来确定非零元素所在位置；

类似阵元幅相误差存在时的处理方法，可得阵元耦合存在下的信号模型为：

式中，

对式(19)关于c_c求导，可得：

式中，为的第i列，G_ci,kj为G_ci的第k行第j列元素，可得：

综合式(7)、式(13)和式(18)可知，对于互质阵列，当只有阵元位置误差、阵元幅相误差或阵元耦合误差存在时，可得一般化的阵列误差信号模型为：

y(t)＝A(θ)x(t)+Q_tc+n(t) (22)

式中，Q_t和c因误差的形式而有所差异；利用式(22)可将一般化的误差参数矢量c从含有误差的阵列流行矩阵中分离出来，使阵列流行矩阵降级为无误差条件下的阵列流行矩阵A(θ)，便于后续DOA估计算法进行阵列误差条件下的DOA估计和误差参数的估计；

还包括：

基于Bessel先验的SBL阵列校正算法：

a)参数的概率密度分布

基于式(22)给出的一般化阵列信号误差模型，设空域网格为G为网格个数，x(t)的空域稀疏模型为接收信号可稀疏表示为：

设接收信号y(t)服从均值为方差为的复高斯分布，即可得的概率密度函数为：

式(24)中，设噪声方差参数α₀服从参数为a和b的伽马分布，其概率密度函数为：

设服从零均值，方差为Γ＝diag(γ)的先验复高斯分布，γ＝[γ₁,...,γ_G]为非负向量，的条件概率密度函数为：

式(26)中，为的第i个元素；设超参数γ服从参数ε和η的伽马分布，概率密度函数为：

对于阵元位置误差参数c_p，由于取值具有随机性，可近似为干扰位置信息的高斯噪声；故设c_p服从零均值，方差为σ^-1的高斯分布，概率密度函数为：

不同于阵元位置误差参数c_p，幅相误差参数c_g和阵元耦合误差c_c的成因更为复杂且均为复数，尚难以用概率分布模型进行描述，故直接将c_g和c_c作为模型参数；

接收数据Y由信号参数、噪声参数和误差参数共同表征，其中噪声方差参数a和b已知，不进行更新，其它变量均为未知变量；此外，为降低网格失配的影响，将网格作为一个未知超参数并进行更新，这一处理方式降低了模型的复杂度和参数间的关联影响，更适合阵列误差条件下的网格失配DOA估计问题；

b)稀疏贝叶斯学习

设服从均值为μ(t)，方差为Σ的后验复高斯分布，即其中μ(t)和Σ的表达式分别为：

式(30)中，根据式(24)～式(28)可得联合概率密度函数为：

根据贝叶斯公式，可得后验概率密度函数为：

式(32)中，可见p(Y)独立于超参数和模型参数Ξ＝[ε,η,σ]；Θ的最大后验估计和Ξ最优解为：

式(33)中，

式(34)中，表示关于后验概率密度函数的期望，用·进行简化表示；对未知参数的求解过程如下；

(1)更新误差参数c_p和σ

对于位置误差参数c_p，式(33)等价为：

对式(35)进行化简，可得：

对式(36)关于c_p,k求导，可得：

令可得：

对式(38)化简并求c_p,k，可得第i次迭代c_p,k的估计值为：

结合式(6)、式(29)和式(30)，可得和的表达式分别为：

式(40)～式(42)中，上式的推导利用了迹的乘法公式a^HBa＝tr(Baa^H)；

对于参数σ，式(33)等价为：

对式(43)展开，可得：

式(44)中const为σ无关项，对式(44)关于σ求导并令导数为0，可得第i次迭代σ的估计值为：

当阵元耦合误差或幅相误差存在时，误差参数的求解思想不变，式(39)改写为：

易得，式(40)～式(42)的推导过程与误差类型无关；因此，对于其它两种误差，将替换为即可沿用式(40)～式(42)的方法求得和其中上标g/c表示可为g或者c，即或者

(2)更新噪声参数α₀

对于噪声参数α₀，式(33)等价为：

对式(48)展开，可得：

式中，const为与α₀无关项；对式(49)关于α₀求导并令导数为0，可得第i次迭代α₀的估计值为：

(3)更新信号参数γ、ε和η

对于超参数γ，式(33)等价为：

对式(51)展开，可得：

式中const为与γ_k无关项，μ_k(t)为μ(t)的第k个元素，Σ_kk为Σ的第k行，第k列个元素；对式(52)关于γ_k求导并令导数为0，可得第i次迭代γ_k的估计值为：

对于参数ε和η，式(33)等价为：

对式(54)进行化简，可得：

对式(55)分别关于ε和η求导并令导数为0，可得：

式(56)中，ψ(ε)为digamma函数代表lnΓ(ε)在ε处的导数，通过求解式(56)可得ε的在第i次迭代的更新值ε⁽ⁱ⁾；η在第i次迭代的更新值直接由式(57)给出。

2.根据权利要求1所述的一种阵列误差条件下的互质阵列DOA估计新方法，其特征在于，还包括：

互质阵列的网格失配求根算法；

由于网格失配现象只发生在真实到达角的临近网格，对距离真实到达角较远的网格进行更新并不会对结果产生较大影响；因此，为提高算法效率，在进行网格参数的更新之前，首先对待更新的网格位置进行选择；由于信号个数通常未知，考虑到初始迭代过程中算法并未收敛，选择重构信号所有谱峰所在网格作为待更新的网格，设选定的网格编号集为g⁽ⁱ⁾，未被选定的网格不进行更新；

对于网格变量式(34)等价为：

对式(58)进行展开，并化简可得：

式中const为与无关项，为的第k列，为中间变量k∈g⁽ⁱ⁾；对式(59)关于v_k求导，可得：

式中，综合式(60)和式(61)，可得：

式中，T_k和F_k为中间变量，F_kj为F_k的第j个元素，T_k和F_k的表达式分别为：

由于d₁＝0，可将式(62)表示为矩阵相乘的形式：

式(65)是关于v_k的多项式和，v_k的最高阶数为系数为由于互质阵列通常满足即式(65)中v_k的最高阶数大于系数矩阵W_k的维数；在实际应用中，为便于多项式求根，需要对系数矩阵进行维度扩展，使其维数等于

设D₁的第n个元素D_1n为D₂的第j个元素D_2j为扩展后的系数矩阵的第j个元素为：

此外，对于阶的多项式求根会得到个解，需要进行解的筛选；由于可将|v_i|＝1作为限制条件进行解的筛选；综合可得第i次迭代v_k的估计值为：

式中，表示系数为的多项式的根，得到后可反解出为：

由于的求解结果具有不确定性，为避免的计算偏差造成结果发散，对的可靠范围进行约束以保证算法具有较强的收敛性；当存在网格失配时，设信号的真实到达角距网格最近，可得：

式(69)的含义为：当距网格最近时，选择作为的更新值，此时可降低网格失配的影响；当不在网格的附近时，网格估计值已经偏离了真实DOA所在位置，为增强收敛速度，令的值同i-1次迭代保持不变，不接受作为的更新值；

算法步骤

当迭代终止后，设P＝[P₁,...,P_G]为重构的信号功率谱，可得：

搜索P的谱峰所在位置，设谱峰所在网格编号集为g，则信号到达角的估计值θ_e为：