[发明专利]对称模式下两种常用钢矩形截面薄壁梁压溃力分析方法

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1.对称模式下两种常用钢矩形截面薄壁梁压溃力分析方法，其特征在于，所述的对称模式，即矩形截面薄壁梁的截面平均宽度和截面平均厚度之比在40到60之间时的矩形截面薄壁梁的变形模式，本方法的具体步骤如下：

第一步、推导对称变形模式下由同种材料、同种厚度的钢板构成的矩形截面薄壁梁的平均压溃反力表达式的具体步骤如下：

1)推导对称变形模式下由同种材料、同种厚度的钢板构成的矩形截面薄壁梁受轴向力作用时其超折叠单元能量耗散的表达式：

根据矩形薄壁梁压溃理论，当矩形截面薄壁梁受到轴向力作用时会发生“叠缩”变形，从而产生超折叠单元；对于矩形截面薄壁梁，可以过矩形中心及四条边的中点沿轴向平均分为四个相同的、中心角均为直角的超折叠单元；取一个超折叠单元为研究对象，其截面两条边的长度分别是矩形截面长度和宽度的一半，其塑形变形可以简化为棱线处的形面拉伸、绕水平固定绞线的弯曲和绕倾斜塑形绞线的弯曲，由塑形力学可以确定出各部分的能量耗散分别是：

E₂'＝E₃+E₄＝2M₀πc (2)

E_i＝E₁+E₂+E₃+E₄+E₅+E₆ (4)

式中，E是四个超折叠单元的总吸能量；E_i是每个超折叠单元的总吸能量；E′₁是每个超折叠单元中拉伸形面的能量耗散，E′₂是每个超折叠单元中绕水平固定绞线的能量耗散，E′₃是每个超折叠单元中绕倾斜塑形绞线的能量耗散，单位均是kJ；E₁是每个超折叠单元中环形面的拉伸能量耗散，E₂是每个超折叠单元中锥形区的拉伸能量耗散，E₃是每个超折叠单元中水平塑性铰锁死的能量耗散，E₄是每个超折叠单元中沿水平塑形绞线弯曲能量耗散，E₅是每个超折叠单元中倾斜塑性铰锁死的能量耗散，E₆是每个超折叠单元中沿倾斜塑形绞线的弯曲能量耗散，单位均是kJ；M₀是每个超折叠单元的单位长度塑形极限弯矩，单位是N·mm；H为单个超折叠单元的折叠半波长，单位是mm；I是与超折叠单元中心角相关的无量纲系数，当超折叠单元的中心角为直角时，I₁为0.53，I₃为1.15；r是超折叠单元环形面圆环子午线方向的半径，单位是mm；h是矩形薄壁梁的壁厚，单位是mm；c是矩形截面宽度a和矩形截面长度b的平均值即矩形截面薄壁梁的平均宽度，c＝(a+b)/2，单位是mm；π为圆周率；

2)推导对称变形模式下由同种材料、同种厚度的钢板构成的矩形截面薄壁梁平均压溃力表达式：

根据能量守恒原则，矩形薄壁梁受轴向压溃作用时，平均压溃力F_m所做的功等于四个相同的超折叠单元的能量耗散之和：

式中，δ_ef为单个超折叠单元的有效压溃距离，单位是mm，其与单个超折叠单元折叠半波长H之间是呈确定比例的关系：

δ_ef/2H＝0.73 (7)

联立式(1)～(7)，可以得到该矩形截面平均压溃力F_m的表达式为：

其中，π为圆周率；

由能量最小原则，对式(8)求偏导：

得到由同种材料、同种厚度的钢板焊接而成的矩形截面薄壁梁的平均压溃力表达式：

进一步化简，使用等效流动应力σ₀作为厚度方向上的平均应力，近似计算出材料单位长度的塑形极限弯矩M₀为：

因此，由同种材料、同种厚度的钢板焊接而成的矩形截面薄壁梁在受到轴向力作用发生压溃变形时的平均压溃力F_m与其材料属性σ₀、截面尺寸c和厚度h之间的表达式为：

式中：F_m为由同种材料、同种厚度的钢板构成的矩形截面薄壁梁的平均压溃反力，单位是kN；σ₀为该种材料的等效流动应力，单位是MPa；h为矩形截面薄壁梁的厚度，单位是mm；c为矩形截面长度a和矩形截面宽度b的平均值即矩形截面薄壁梁的平均宽度，则c＝(a+b)/2，单位是mm；

第二步、由两种钢板焊接而成的薄壁梁需要考虑混合形式和焊接位置，定义矩形截面薄壁梁常用的混合形式有两种，即混合形式Ⅰ和混合形式Ⅱ；混合形式Ⅰ下的矩形截面分为两组相邻的长和宽，其中一组相邻的长和宽由第一种钢板构成，即该组相邻的长和宽的材料和厚度均相同，另一组相邻的长和宽由另一种材料与第一种钢板不同但厚度与第一种钢板相同或厚度与第一种钢板不同但材料与第一种钢板相同的第二种钢板构成；混合形式Ⅱ下的矩形截面的一个宽以及与其相邻的两个长由第一种钢板构成，即矩形截面的一个宽以及与其相邻的两个长的材料和厚度均相同，另外一个宽由另一种材料与第一种钢板不同但厚度与第一种钢板相同或厚度与第一种钢板不同但材料与第一种钢板相同的第二种钢板构成；两种混合形式下的焊接方式均为搭接；推导分别由两种材料不同且厚度也不同的钢板构成的矩形截面薄壁梁在两种混合形式下的平均压溃反力的表达式、两种材料不同厚度相同的钢板构成的矩形截面薄壁梁在两种混合形式下的平均压溃反力的表达式以及两种材料相同厚度不同的钢板构成的矩形截面薄壁梁在两种混合形式下的平均压溃反力的表达式：

具体过程如下：

A.分别推导由两种材料不同且厚度也不同的钢板构成的矩形截面薄壁梁在混合形式Ⅰ下的平均压溃反力的表达式、由两种材料不同但是厚度相同的钢板构成的矩形截面薄壁梁在混合形式Ⅰ下的平均压溃反力的表达式以及由两种材料相同但是厚度不同的钢板构成的矩形截面薄壁梁在混合形式Ⅰ下的平均压溃反力的表达式：

对于混合形式Ⅰ的矩形截面薄壁梁，过矩形中心及四条边长中点沿轴向将其平均划分为4个大小相同的超折叠单元，其中一个超折叠单元由第一种钢板单独组成，与该超折叠单元相邻的两个超折叠单元各自均由第一种钢板和第二种钢板共同组成，与该超折叠单元不相邻的超折叠单元由第二种钢板单独组成，由第一种钢板和第二种钢板共同组成的超折叠单元的截面两条边的长度分别是矩形截面长度和宽度的一半，两种钢板在截面直角交接处处采用搭接的形式焊接，由式(12)得到，混合形式Ⅰ下的矩形截面薄壁梁的压溃力F_mI的式为：

式中，F_mI1是混合形式Ⅰ下，由第一种钢板单独构成的矩形截面薄壁梁的平均压溃反力；F_mI2是混合形式Ⅰ下，由第二种钢板单独构成的矩形截面薄壁梁的平均压溃反力；F_mI12是混合形式Ⅰ下，由第一种钢板和第二种钢板共同形成的单个超折叠单元的轴向平均压溃力；

分别推导由两种材料不同且厚度也不同的钢板构成的矩形截面薄壁梁在混合形式Ⅰ下的平均压溃反力的表达式、由两种材料不同但是厚度相同的钢板构成的矩形截面薄壁梁在混合形式Ⅰ下的平均压溃反力的表达式以及由两种材料相同但是厚度不同的钢板构成的矩形截面薄壁梁在混合形式Ⅰ下的平均压溃反力的表达式：

a)对于由两种材料不同且厚度也不同的钢板在混合形式Ⅰ下的构成的矩形截面薄壁梁，由式(12)得到，由第一种钢板单独构成的矩形截面薄壁梁在混合形式Ⅰ下的平均压溃反力F_mIa1的表达式为：

σ_0Ia1是混合形式Ⅰ下的第一种钢板的等效流动应力、h_Ia1是混合形式Ⅰ下的第一种钢板的钢板厚度；c_Ia1是混合形式Ⅰ下由第一种钢板单独构成的矩形截面薄壁梁的矩形截面长度a_Ia1和矩形截面宽度b_Ia1的平均值,即矩形截面薄壁梁的平均宽度，c_Ia1＝(a_Ia1+b_Ia1)/2，单位是mm；

由第二种钢板单独构成的矩形截面薄壁梁在混合形式Ⅰ下的平均压溃反力F_mIa2的表达式为：

σ_0Ia2是混合形式Ⅰ下的第二种钢板的等效流动应力、h_Ia2是混合形式Ⅰ下的第二种钢板的钢板厚度；c_Ia2是混合形式Ⅰ下由第二种钢板单独构成的矩形截面薄壁梁的矩形截面长度a_Ia2和矩形截面宽度b_Ia2的平均值,即矩形截面薄壁梁的平均宽度，c_Ia2＝(a_Ia2+b_Ia2)/2，单位是mm；

由第一种钢板和第二种钢板共同形成混合形式Ⅰ下的矩形截面薄壁梁在轴向压溃过程中含有四个超折叠单元，因此单个超折叠单元在混合形式Ⅰ下的平均压溃反力F_mIa12的表达式为：

令c_Ia1＝c_Ia2＝c_Ia，联立式(13)～(16)，可以得到混合形式Ⅰ下由两种材料不同且厚度也不同的钢板构成的矩形截面薄壁梁的平均压溃力F_mIa的表达式为：

b)对于由两种材料不同但是厚度相同的钢板构成的混合形式Ⅰ下的矩形截面薄壁梁，由式(12)得，由第一种钢板单独构成的矩形截面薄壁梁在混合形式Ⅰ下的平均压溃反力F_mIb1表达式为：

σ_0Ib1是混合形式Ⅰ下的第一种钢板的等效流动应力；c_Ib1是混合形式Ⅰ下由第一种钢板单独构成的矩形截面薄壁梁的矩形截面长度a_Ib1和矩形截面宽度b_Ib1的平均值,即矩形截面薄壁梁的平均宽度，c_Ib1＝(a_Ib1+b_Ib1)/2，单位是mm；h_Ib是混合形式Ⅰ下的两种钢板的钢板厚度；

由第二种钢板单独构成的矩形截面薄壁梁在混合形式Ⅰ下的平均压溃反力F_mIb2表达式为：

σ_0Ib2是混合形式Ⅰ下的第二种钢板的等效流动应力；c_Ib2是混合形式Ⅰ下由第二种钢板单独构成的矩形截面薄壁梁的矩形截面长度a_Ib2和矩形截面宽度b_Ib2的平均值,即矩形截面薄壁梁的平均宽度，c_Ib2＝(a_Ib2+b_Ib2)/2，单位是mm；

由两种钢板共同形成的单个超折叠单元在混合形式Ⅰ下的平均压溃反力F_mIb12的表达式为：

令c_Ib1＝c_Ib2＝c_Ib；联立式(13)及(18)～(20)，可以得到混合形式Ⅰ下由两种材料不同但是厚度相同的钢板构成的矩形截面薄壁梁的平均压溃力F_mIb的表达式为：

c)对于由两种材料相同但是厚度不同的钢板在混合形式Ⅰ下的构成的矩形截面薄壁梁，由(12)式得到，由第一种钢板单独构成的矩形截面薄壁梁在焊接混合形式Ⅰ下的平均压溃反力F_mIc1表达式为：

σ_0Ic是混合形式Ⅰ下的两种钢板的等效流动应力；h_Ic1是形式Ⅰ下的第一种钢板的钢板厚度；c_Ic1是混合形式Ⅰ下由第一种钢板单独构成的矩形截面薄壁梁的矩形截面长度a_Ic1和矩形截面宽度b_Ic1的平均值,即矩形截面薄壁梁的平均宽度，c_Ic1＝(a_Ic1+b_Ic1)/2，单位是mm；

由第二种钢板单独构成的矩形截面薄壁梁在混合形式Ⅰ下的平均压溃反力F_mIc2表达式为：

σ_0Ic是混合形式Ⅰ下的两种钢板的等效流动应力；h_Ic2是混合形式Ⅰ下的第二种钢板的钢板厚度；c_Ic2是混合形式Ⅰ下由第二种钢板单独构成的矩形截面薄壁梁的矩形截面长度a_Ic2和矩形截面宽度b_Ic2的平均值,即矩形截面薄壁梁的平均宽度，c_Ic2＝(a_Ic2+b_Ic2)/2，单位是mm；

由两种钢板共同形成的单个超折叠单元在混合形式Ⅰ下的平均压溃反力F_mIc12的表达式为：

令c_Ic1＝c_Ic2＝c_Ic，联立式(13)及(22)～(24)，可以得到混合形式Ⅰ下由两种材料相同但是厚度不同的钢板构成的矩形截面薄壁梁的平均压溃力F_mIc的表达式为：

B.分别推导由两种材料不同且厚度也不同的钢板构成的矩形截面薄壁梁在混合形式Ⅱ下的平均压溃反力的表达式、由两种材料不同但是厚度相同的钢板构成的矩形截面薄壁梁在混合形式Ⅱ下的平均压溃反力的表达式以及由两种材料相同但是厚度不同的钢板构成的矩形截面薄壁梁在混合形式Ⅱ下的平均压溃反力的表达式：

对于混合形式为Ⅱ的矩形截面薄壁梁，过矩形中心及四条边长中点沿轴向将其平均划分为4个大小相同的超折叠单元，其中，两个相邻的超折叠单元由第一种钢板单独组成，剩余两个相邻的超折叠单元由第一种钢板和第二种钢板共同组成，由两种钢板共同组成的超折叠单元的沿轴向的截面两条边的长度分别是矩形截面长度和宽度的一半，两种钢板在截面直角交接处采用搭接的形式焊接，由式(12)得到，混合形式Ⅱ下的矩形截面薄壁梁的压溃力F_mII的式为：

式中，F_mII1是在混合形式Ⅱ下，由第一种钢板单独构成的矩形截面薄壁梁的平均压溃反力；F_mII12是在混合形式Ⅱ下，由第一种钢板和第二种钢板共同形成的单个超折叠单元的平均压溃力：

分别推导由两种材料不同且厚度也不同的钢板，两种材料不同但是厚度相同的钢板或两种材料相同但是厚度不同的钢板构成的矩形截面薄壁梁在混合形式Ⅱ下的平均压溃反力的表达式：

a)对于由两种材料不同且厚度也不同的钢板构成的在混合形式Ⅱ下的矩形截面薄壁梁，由式(12)得到，由第一种钢板单独构成的矩形截面薄壁梁在混合形式Ⅱ下的平均压溃反力F_mIIa1表达式为：

σ_0IIa1是混合形式Ⅱ下第一种钢板的等效流动应力；h_IIa1是混合形式Ⅱ下第一种钢板的厚度；c_IIa1是混合形式Ⅱ下由第一种钢板单独构成的矩形截面薄壁梁的矩形截面长度a_IIa1和矩形截面宽度b_IIa1的平均值,即矩形截面薄壁梁的平均宽度，c_IIa1＝(a_IIa1+b_IIa1)/2，单位是mm；

由两种钢板共同形成的单个超折叠单元在混合形式Ⅱ下的平均压溃反力F_mIIa12的表达式为：

σ_0IIa2是混合形式Ⅱ下第二种钢板的等效流动应力；h_IIa2是混合形式Ⅱ下第二种钢板的厚度；c_IIa2是混合形式Ⅱ下由第二种钢板单独构成的矩形截面薄壁梁的矩形截面长度a_IIa2和矩形截面宽度b_IIa2的平均值,即矩形截面薄壁梁的平均宽度，c_IIa2＝(a_IIa2+b_IIa2)/2，单位是mm；

令c_IIa1＝c_IIa2＝c_IIa，联立式(26)～(28)，可以得到由两种材料不同且厚度也不同的钢板构成的混合形式Ⅱ下矩形截面薄壁梁的平均压溃力F_mIIa的表达式为：

b)对于由两种材料不同但是厚度相同的钢板在混合形式Ⅱ下的构成的矩形截面薄壁梁，由式(12)得到，由第一种钢板单独构成的矩形截面薄壁梁在混合形式Ⅱ下的平均压溃反力F_mIIb1的表达式为：

σ_0IIb1是混合形式Ⅱ下第一种钢板的等效流动应力；c_IIb1是混合形式Ⅱ下由第一种钢板单独构成的矩形截面薄壁梁的矩形截面长度a_IIb1和矩形截面宽度b_IIb1的平均值,即矩形截面薄壁梁的平均宽度，c_IIb1＝(a_IIb1+b_IIb1)/2，单位是mm；

由两种钢板共同形成的单个超折叠单元在混合形式Ⅱ下的平均压溃反力F_mIIb12的表达式为：

σ_0IIb2是混合形式Ⅱ下第二种钢板的等效流动应力；h_IIb是混合形式Ⅱ下两种钢板的厚度；c_IIb2是混合形式Ⅱ下由第二种钢板单独构成的矩形截面薄壁梁的矩形截面长度a_IIb2和矩形截面宽度b_IIb2的平均值,即矩形截面薄壁梁的平均宽度，c_IIb2＝(a_IIb2+b_IIb2)/2，单位是mm；

令c_IIb1＝c_IIb2＝c_IIb，联立式(26)及(30)～(31)，可以得到混合形式Ⅱ下由两种材料不同但是厚度相同的钢板构成的矩形截面薄壁梁的平均压溃力F_mIIb的表达式为：

式中，F_mIIb是由两种材料不同但是厚度相同的钢板构成的矩形截面薄壁梁在混合形式Ⅱ下的平均压溃反力，单位是kN；F_mIIb1是由第一种钢板单独构成的矩形截面薄壁梁在混合形式Ⅱ下的平均压溃反力，单位是kN；F_mIIb2是由第二种钢板单独构成的矩形截面薄壁梁在混合形式Ⅱ下的平均压溃反力，单位是kN；σ_0IIb1是混合形式Ⅱ下的第一种钢板的等效流动应力；σ_0IIb2是混合形式Ⅱ下的第二种钢板的等效流动应力；h_IIb是混合形式Ⅱ下的两种钢板的钢板厚度；c_IIb是混合形式Ⅱ下的矩形截面长度a_IIb和矩形截面宽度b_IIb的平均值,即矩形截面薄壁梁的平均宽度，c_IIb＝(a_IIb+b_IIb)/2，单位是mm；

c)对于由两种材料相同但是厚度不同的钢板构成的在混合形式Ⅱ下的矩形截面薄壁梁，由式(12)得到，由第一种钢板单独构成的矩形截面薄壁梁在混合形式Ⅱ下的平均压溃反力F_mIIc1的表达式为：

σ_0IIc是混合形式Ⅱ下两种钢板的等效流动应力；h_IIc1是混合形式Ⅱ下第一种钢板的厚度；c_IIc1是混合形式Ⅱ下由第一种钢板单独构成的矩形截面薄壁梁的矩形截面长度a_IIc1和矩形截面宽度b_IIc1的平均值,即矩形截面薄壁梁的平均宽度，c_IIa1＝(a_IIa1+b_IIa1)/2，单位是mm；

由两种钢板共同形成的单个超折叠单元在混合形式Ⅱ下的平均压溃反力F_mIIc12的表达式为：

h_IIc2是混合形式Ⅱ下第二种钢板的厚度；c_IIc2是混合形式Ⅱ下由第二种钢板单独构成的矩形截面薄壁梁的矩形截面长度a_IIc2和矩形截面宽度b_IIc2的平均值,即矩形截面薄壁梁的平均宽度，c_IIc2＝(a_IIc2+b_IIc2)/2，单位是mm；

令c_IIc1＝c_IIc2＝c_IIc，联立式(26)及(33)～(34)，可以得到由两种材料相同但是厚度不同的钢板构成的矩形截面薄壁梁在混合形式Ⅱ下平均压溃力F_mIIc的表达式为：