[发明专利]基于双对角化的低复杂度几何均值分解预编码实现方法

权利要求书

1.一种基于双对角化的低复杂度几何均值分解预编码实现方法，其特征在于，所述方法包括以下步骤：

(1)计算信道矩阵的共轭转置以及其自身的乘积；

(2)基于给定的Hermitian矩阵双对角化方法，通过Givens旋转使信道矩阵变为双对角矩阵；

(3)基于给定的几何均值分解方法，通过Givens旋转使双对角矩阵变为对角线元素全部等于信道矩阵特征值的几何均值的上三角矩阵；

(4)构造几何均值分解的预编码矩阵，即所有Givens右旋转矩阵乘积；

所述步骤(1)中计算信道矩阵的共轭转置以及其自身的乘积的具体方法为：假设信道矩阵为其中N≤M，其共轭转置与其自身相乘结果为则

A＝H^HH；

矩阵A为Hermitian矩阵，其对角线元素为实数，其他元素关于主对角线对称，所述步骤(2)中Hermitian矩阵变为双对角矩阵具体方法为：

对Hermitian矩阵H进行分解：

H＝QRP^H；

其中Q,P为酉矩阵，P是所需要求的矩阵，R为实双对角矩阵，对于Hermitian矩阵A就有：

A＝(QRP^H)^H(QRP^H)＝P(R^HR)^HP^H；

令为N×N阶实双对角矩阵，则

其中为实Hermitian矩阵，其除了对角线上的元素以及和对角线相邻的两条对角线上元素不为0，其余元素都为0，具体形式为：

，

所述步骤(2)中通过Givens旋转使信道矩阵变为双对角矩阵具体方法为：对于矩阵中的一个2×2子矩阵，规定Givens旋转操作如下：

其中φ_m,n＝tan^-1(imag(H_m,n)/real(H_m,n))，θ_(m,n),(p,q)＝tan^-1(H_m,n/H_p,q)；

步骤(2.1)初始化：k＝1，P＝I_M，A＝H^HH；

步骤(2.2)将第k行和第k列复数元素转换成实数：计算第k行复数元素的幅角分别为φ_k+1,k,φ_k+2,k,...,φ_M,k，并且依次进行右乘N×N阶的旋转矩阵G(0,φ_k,i),i＝k+1,k+2,...,M以及左乘其共轭矩阵，同样矩阵P需要依次右乘G(0,φ_i,k),i＝k,k+1,...,M；

步骤(2.3)将第k行和第k列k+1之后的元素全部变为0：计算Givens旋转角度θ_k,N,并且依次将矩阵进行右乘Givens旋转矩阵以及左乘该矩阵的共轭转置；

步骤(2.4)令k＝k+1，并且从步骤(2.2)重新开始进行处理，直到k＝N；

步骤(2.5)从上面的步骤已经得到满足条件的R^HR，然后对其中的子矩阵进行算数计算，即其中k＝1,2,...,N-1。

2.根据权利要求1所述的基于双对角化的低复杂度几何均值分解预编码实现方法，其特征在于，所述步骤(3)中通过Givens旋转对双对角矩阵进行几何均值分解的具体方法为：

步骤(3.1)计算几何均值，假设矩阵的对角线元素为σ_i,i＝1,2,...,N，所有对角线元素的乘积为分为两种情况进行讨论：如果N＝2^p，其中p为正整数，则其矩阵R的对角线元素两两进行平方根计算，然后将平方根计算后的值再进行平方根计算，直到求出几何均值为止；如果N≠2^p，则其中

步骤(3.2)对于i＝1，对矩阵中的2×2子矩阵先进行SVD处理，然后进行平面旋转处理，使R_ii变为我们需要的几何均值；令i＝i+1，重复上述操作，直到N-i＝2^p，p为使等式成立的最大正整数；其中2×2的SVD分解为：

其中

左乘和右乘矩阵分别为

2×2的平面旋转处理为：

其中

步骤(3.3)对于剩余2^p个未处理完的对角线元素，采用分治的方法对其进行处理，首先将这些元素分为两个两个一组，即相邻的两个对角线元素构成一组，通过SVD操作和GMD操作使两个两个对角线元素相等；然后四个四个一组，先将每组中间两个对角线元素进行交换，然后在通过两个两个一组的SVD操作与GMD操作，使每四个对角线元素相同；然后8个对角线元素一组，使8个对角线元素相同，最后一直使2^p个对角线元素相同就完成几何均值分解操作，其中，2×2的GMD操作是对SVD后的对角矩阵进行操作，具体为：

其中θ₃＝π/2-θ₄；

2×2子矩阵的两个对角线元素交换操作为：

其中θ_d的求解与SVD中相同。