[发明专利]一种压缩感知观测矩阵的优化设计方法

说明书

一种压缩感知观测矩阵的优化设计方法，首先确定初始观测矩阵的维度M×N；据此确定分块子矩阵的维度p以及分布矩阵A的维度；然后生成{0,1}二值稀疏随机分布矩阵A；确定非零子矩阵的置换矩阵R及其循环移位次数k，生成各循环置换矩阵R_k，使得观测矩阵的最小环长g_min≥6；分别用循环置换矩阵R_k和零矩阵O代替分布矩阵A中的“1”和“0”，展开后生成初始观测矩阵Φ_s；列置换，得到新的观测矩阵Φ；若不满足重构精度要求，则重新生成Φ，直至满足重构精度；采用上述方法生成的观测矩阵具有列相关性小的特点，重构性能好、具有普适性，观测及重构速度快、计算简单、易于硬件实现。

技术领域

本发明涉及一种压缩感知观测矩阵的优化设计方法，属于压缩感知和信号处理技术领域。

背景技术

通信和信号处理技术领域需要对信号进行采样，基于的理论基础是著名的奈奎斯特(Nyquist)定理，要求采样频率必须大于等于被采样信号最高频率的两倍，才能从采样数据中完全恢复出原始信号。长久以来，Nyquist定理几乎支配着所有信号的获取、处理、存储、传输等系列过程。基于该定理的数据获取方式给模数转换器(ADC)、数字通信带宽以及存储资源都带来了压力。当信号带宽较小、对数据信息量需求不高时，该定理尚未显现出其局限性。随着信号带宽的不断增加，前端系统的采样频率、数据率按照两倍的关系迅速增加，使得现有的ADC和信号处理器件无法满足处理速率的要求；从另一方面来看，采样得到的数据量极大，包含大量冗余信息，传统的方法是对采样数据先压缩，丢弃大部分无用信息，只保留有用信息，然后再进行存储或传输，这样高能耗的数据获取方式会造成时间、空间和计算资源的浪费，从而逐渐成为了制约系统性能提升的瓶颈。

压缩感知(compressed Sensing，CS)是近几年提出的一种新的信息获取理论，其核心思想是只要信号x(N×1)是稀疏的或在某个变换域Ψ(N×N)上是稀疏的\可压缩的，就可以用一个与变换基Ψ不相关的观测矩阵Φ(M×N)将该信号投影到一个低维空间上，得到观测值y(M×1)，MN，然后通过求解一个最优化问题就能够高概率从这些少量的投影中重构出原始信号x。可以看出，CS通过一种全局的观测方式来直接获取信号的有用信息(MN个观测值)，然后利用信号稀疏的先验知识和少量的有用信息就可以重建信号。这种信号获取方式打破了传统的基于Nyquist采样定理的信号处理模式，采样和压缩同时进行，可以有效地解决上面提到的传统数据获取和处理方式的局限性。

压缩感知的理论框架由信号的稀疏表示、信号的观测、以及信号的重构三部分组成。其中用于观测信号的观测矩阵Φ有两个作用，一是对信号进行降维观测，获取包含原始信号有效信息的观测值y＝Φx＝ΦΨs；二是确保能够从观测值y中重构出信号x。好的观测矩阵可以用较少的观测数，实现信号的精确重构，并且能够降低观测和重构的速度以及硬件实现的复杂度。因此，观测矩阵是压缩感知理论实现数据采集的核心，是将压缩感知理论推向实际应用的一个关键因素。

观测矩阵Φ的设计必须独立于信号x，但应该具有普适性，即对绝大多数可能的稀疏信号均有效。学者们研究发现，观测矩阵满足约束等距特性(restricted Isometryproperty，RIP)时，稀疏信号就能以高概率恢复。但是，证明一个矩阵是否满足RIP并不容易，或者说，RIP很难用来指导观测矩阵的设计。而Baraniuk给出了RIP的一个可以替代的条件——相关性判别理论，可以直接用来指导观测矩阵的设计。除此之外，Donoho定性定量的给出了观测矩阵应满足的三个特征：①由观测矩阵的列向量组成的子矩阵的最小奇异值必须大于一定的常数，即观测矩阵的列向量满足一定的线性独立性；②观测矩阵的列向量呈现某种类似噪声的独立随机性；③满足稀疏度的解是满足l₁范数最小的向量。

在这些理论的指导下，国内外学者经过严谨的数学证明和实验验证，给出了许多观测矩阵的构造方法，这些方法概括起来主要分为三类：以高斯矩阵、贝努利矩阵为代表的随机观测矩阵；以多项式矩阵、伪随机矩阵为代表的确定性观测矩阵；以及以托普利兹矩阵、部分傅里叶矩阵、部分哈达玛矩阵为代表的结构化随机观测矩阵。