[发明专利]一种区间演化方程的建立及求解方法

说明书

本发明公开了一种区间演化方程的建立及求解方法。该方法从含区间参数的结构动力学响应方程出发，首先将其改写为含区间参数的一阶微分状态空间方程。再利用典型一阶微分方程的求解方法得到结构动力学响应的区间演化方程的解析表达式。由于该表达式中包含有区间矩阵的乘方及求逆运算，因而无法直接求解得到精确的区间边界。该方法再利用混沌多项式构造原问题的近似模型，再通过辅助优化算法得到近似模型的上界及下界，从而得到某一时刻结构的区间响应边界，进而得到整个时间段内结构动力学的区间响应过程。

技术领域

本发明涉及含区间不确定参数的结构动力学响应分析的技术领域，具体涉及一种区间演化方程的建立及求解方法。

背景技术

结构分析在机械工程、航空航天、土木工程以及车辆工程中占有重要的位置。结构动力学响应分析是结构分析中重要的一环，它也是结构进行后续的动力学优化设计、损伤识别以及振动控制的先决条件。

然而，由于材料分散性、制造误差、载荷波动等不确定性因素的存在，传统的确定性分析方法得到的结果可能与实际情况完全不相符。因而在结构动力学响应分析中将不确定性因素考虑在内是十分有必要的。经典的随机振动理论将载荷考虑成一个随机过程，并采用随机过程中的方法例如伊藤积分等进行求解。然而随机振动理论并没有考虑参数的不确定性。近些年来发展的随机方法将参数不确定性考虑在内。但是为了得到参数的概率密度描述，需要进行大量的实验以获得足够的样本，实际工程，尤其是航空航天工程中没有足够的时间和金钱获得如此多的样本。因而有必要发展一种贫信息、少数据条件下的动力学响应分析方法。

而用区间表示不确定性时只需知道参数的上下界，这在贫数据、少信息的条件下能够发挥较大的作用。为了能够得结构区间随时间的演化规律，需要建立能够描述区间随时间变化的方程，同时还需要发展能够求解该方程的数值解法，以便能够在实际工程中使用。

由于结构含区间不确定性参数的动力学响应分析问题在机械、船舶、车辆和航空航天领域有着举足轻重的作用，因而建立一种计算量较小、精度较高的含区间不确定参数的动力学响应分析方法有着显著的现实意义。

发明内容

本发明要解决的技术问题是：本发明提供了一种区间演化方程的建立及求解方法。该方法从含区间参数的结构动力学响应方程出发，首先将其改写为含区间参数的一阶微分状态空间方程。再利用典型一阶微分方程的求解方法得到结构动力学响应的区间演化方程的解析表达式。由于该表达式中包含有区间矩阵的乘方及求逆运算，因而无法直接求解得到精确的区间边界。该方法再利用混沌多项式构造原问题的近似模型，再通过辅助优化算法得到近似模型的上界及下界，从而得到某一时刻结构的区间响应边界，进而得到整个时间段内结构动力学的区间响应过程。

本发明采用的技术方案为：一种区间演化方程的建立及求解方法，该方法主要包括如下步骤：

第一步：确定区间不确定变量α^I以及其区间域Θ。得到结构质量矩阵M、刚度矩阵K，阻尼矩阵C的表达式，并列写含区间参数结构的动力学响应方程：

其中P表示外载荷列向量，t表示时间，P(t,α^I)表示外载荷是时间及不确定变量的函数。U^I(t)表示结构的位移响应区间，表示结构的速度响应区间，表示结构的加速度响应区间，U^I(t)|_t＝0表示0时刻的位移区间，U₀表示初始位移，表示0时刻的速度区间，表示初始速度。

第二步：将结构的动力学响应方程写成状态空间方程的形式。首先引入新的状态量其中表示将U^I(t)及组成一个行向量，上标T表示向量的转置。从而可以将第一步中的动力学响应方程改为如下状态空间方程的形式：

其中：