[发明专利]用于加解密的受控Shimizu-Morioka系统与Lorenz系统广义同步方法

权利要求书

1.一种用于加解密的受控Shimizu-Morioka系统与Lorenz系统广义同步方法，其特征在于，包括以下步骤：

1)广义混沌同步问题描述

驱动系统为Lorenz系统形式如下：

其中x＝(x₁,x₂,x₃)^T是状态变量，a、b和c是已知的正实数参数，2a-b≠0；

以受控Shimizu-Morioka系统为响应系统，形式如下：

其中ξ＝(ξ₁,ξ₂,ξ₃)^T是状态变量，u是标量输入，α和β为系统中已知的正实数参数，此β与式(1)中的b等值，即β＝b；

广义混沌同步要实现的目标是：在驱动系统(1)与响应系统(2)初值分别为x(t₀)和ξ(t₀)，响应系统轨迹经过状态反馈

u＝u(x,ξ,t) (3)

其中t表示时间，和相空间之间的状态变换

ξ＝T(x) (4)

后趋向于驱动系统的轨迹,即

这里||·||代表空间中向量的2-范数；

2)响应系统的状态变换和反馈

对响应系统(2)作如下状态变换η＝S(ξ)其中η＝(η₁,η₂,η₃)^T

所以，这是一个线性变换，M_S为3阶方阵，此线性变换的逆变换为

以η为状态，系统表示为

作反馈

u＝-(1-η₁)η₂+αη₃+u₀ (9)

再考虑到β＝b，系统简化为

该系统属于受控的下三角系统，三阶下三角系统的一般形式为

其中w为输入控制量；另一方面观察系统(10)的后两个等式实际形成了线性系统形式，所以系统(10)为实现部分线性化；

3)驱动系统的状态转换

为了找寻驱动系统(1)的状态变换以简化系统，先为此系统加上控制量成为

其中v为加入的输入控制量；

系统(12)作反馈

v＝-(cx₁-x₂-x₁x₃)+v₁ (13)

系统简化为

考虑将系统(14)通过状态变换和进一步的反馈转换为更为简单与系统(10)更为相似的形式，以便于设计广义同步控制方法；由于系统(10)为下三角形式的受控常微分方程，希望系统(14)能转换为同样后者相似形式，

为此，记系统(14)的漂移向量场为

以及输入向量场为

令向量场

计算如下向量场李括号

注意在全局范围内秩为2，并且说明此分布对合；

令

计算如下向量场李括号

在x₁＝0或者2a-b＝0时是秩仍为2，这也说明系统(14)不可能实现状态反馈线性化；但是，当2a-b≠0时，仅在一个零测度集内秩为2，此集合之外秩均为3，所以系统(14)可以通过状态变换等价转换为下三角系统(11)，然而，仍需探究系统(14)究竟能转换为何种下三角系统的问题，并且希望得到形式上较为简单的下三角系统，为此，注意到

此时全局范围内分布的秩为3并且对合，令

取如下分布

Δ₀＝span{X₀}；Δ₁＝span{X₀,X₁}；Δ₂＝span{X₀,X₁,X₂}， (23)

分布Δ₀,Δ₁,Δ₂及X₀,X₁,X₂具有如下性质：

①可验证[X₀,X₁]＝0，[X₁,X₂]＝0以及[X₀,X₂]＝0

②由①，Δ₀,Δ₁,Δ₂均为对合分布；

③由①，存在状态变换h＝(h₁(x),h₂(x),h₃(x))^T＝H(x)＝H(x₁,x₂,x₃)满足

④由于说明性质③中的状态变换h下，系统必定仍然具有下三角形式；

上述性质③也意味着满足以下3个偏微分方程组，第1组为

其中h₁(x)为光滑函数，符号”L”表示做李导数，第2组为

其中h₂(x)为光滑函数，第3组为

其中h₃(x)为光滑函数，上述3组偏微分方程的可行解分别为

在h＝(h₁,h₂,h₃)^T状态下系统成为

该系统实际上已具有下三角系统如系统(11)的形式，但从系统(29)的第二个式子看，上述系统通过如下状态变换还可进一步简化

如用y＝(y₁,y₂,y₃)^T状态表示x状态则为

在y状态下写出系统

对比系统(12)和系统(32)可知经过状态变化(30)系统(1)成为

上述系统的前2个方程在形式于驱动系统的等价形式(10)已实现一致；

4)广义同步

现在考虑系统(33)与系统(10)的同步问题，令二者状态差为e＝η-y＝(e₁,e₂,e₃)^T，则

设计反馈

系统表示为

对于上述系统的子系统

根据线性系统的经典方法设计如下控制器：

该控制器下系统(37)将在的有限时间控制内，即t₁时刻实现e₂(t₁)＝e₃(t₁)＝0，设计一种控制器从t₀时刻开始，经有限时间实现e₂(t₁)＝e₃(t₁)＝0，并保证此过程中控制量有连续的一阶导数并过渡到0；首先，设计预想的e₂(t)为

其中p(t)为一元多项式，由于要求t₁时刻到达系统(37)的原点以及u₁在t＞t₀范围内有连续的一阶导数，这意味着e₂(t)在t₁时有连续的三阶导数，实际上e₂(t)和其一、二、三阶导数再t₁时刻为保证连续均只能为0，即

再考虑系统(37)的t₀时刻应满足

由于式(40)和式(41)共给出6个条件，所以p(t₀)应为5次多项式，再利用式(40)得

其中C₀和C₁为待定系数，利用式(41)的第1个式子得到

再由式(41)的第2个式子

整理得到

该e₂(t)满足式(40)和式(41)的各项要求，那么

以及

明显e₂(t₁)＝e₃(t₁)＝u₁(t₁)＝0；

在时间t₁之后，系统(36)的第一个方程成为此方程明显是大范围渐进稳定的，从而系统(36)大范围渐进稳定，说明系统(10)与系统(33)在此控制律下实现同步；

回到系统(1)与系统(2)的广义同步问题，系统(2)经过反馈和状态变换(6)成为系统(10)，系统(1)作了状态变换后成为系统(33)，其间的状态变换需综合式(28)以及式(30)

并命名此状态变换为y＝(y₁,y₂,y₃)^T＝Y((x₁,x₂,x₃)^T)＝Y(x)，而控制律可见式(35)，其中u₁的表达式见式(47)。