[发明专利]基于奇异值分解的星敏感器在轨标定方法

权利要求书

1.一种基于奇异值分解的星敏感器在轨标定方法，其特征在于：包括如下步骤：

步骤1)、利用坐标变换过程中奇异值不变的特性建立校准模型；

步骤2)、利用可观测性对模型进行优化；

步骤2.1)、最优星组合模型的选择；

步骤2.2)、奇异值的选择；

步骤3)、基于扩展卡尔曼滤波器EKF估计相机参数；

其中，步骤1)所述的利用坐标变换过程中奇异值不变的特性建立校准模型是：

1.1)、建立基于奇异值的校准模型：

通过相机模型，在图像坐标系中给定观测到的恒星质心的位置p_d＝[u_d,v_d]^T，求出相机坐标系w＝[x,y,z]^T中对应的恒星矢量，并将其关系表示为：

w＝F(s,f,u₀,v₀,k₁,k₂,p_d) (1)

其中F(·)是带有失真的反投影函数，s是纵横比，f是焦距，[u₀,v₀]^T为图像坐标系中主点的坐标，k₁、k₂为畸变系数；

定义w_i是惯性坐标系中的一个导航星单位矢量，v_i是相机坐标系中的一个观测星矢量；这两个坐标系之间的变换是：

W＝CV (2)

其中W和V是列向量矩阵

W＝[w₁ w₂ … w_N]_3×N (3)

V＝[v₁ v₂ … v_N]_3×N (4)

C为姿态矩阵，表示从惯性坐标系到相机坐标系的变换，因此C为正交矩阵；

利用奇异值分解法，将矩阵W和V分解为

P_w和P_v是左奇异向量p_vi和p_wi的3×3正交矩阵(i＝1,2,3)，Q_v和Q_w是右奇异向量q_vi和q_wi的N×N正交矩阵(i＝1,2,3)，∑_v和∑_w是3×N对角矩阵，对角元素是V和W的奇异值σ_vi和σ_wi(i＝1,2,3)；对于视场中三个以上的不同恒星，有3个非零奇异值，SVD是唯一的；

将公式(2)乘以W^T，可以得到

WW^T＝CVV^TC^T (7)

将式(5)和(6)带入式(7)得到

以及

其中和是具有特征值和的VV^T和WW^T的对角矩阵；由于VV^T和WW^T是正定对称矩阵，C是正交矩阵，式(7)是相似变换；因此，VV^T和WW^T的特征值相等，即

因此，W和V的正奇异值相等：

σ_wi＝σ_vi，i＝1,2,3 (11)

假设SV(·)是奇异值求解算子，公式(11)可以表示为

σ_vi＝SV(V)＝σ_wi＝SV(W),i＝1,2,3 (12)

将式(1)带入(12)得到

σ_vi＝σ_wi＝SV(V)＝SV(F(s,f,u₀,v₀,k₁,k₂,P_d)),i＝1,2,3 (13)

其中P_d＝[p_d1 p_d2 …… p_dN]_3×N是图像坐标系中观察到的星坐标的集合；

恒星识别后，观测到的恒星坐标P_d与星表中相应的恒星矢量V相互匹配；因此，根据公式(13)，σ_vi可以由星向量V得到，也可以由摄像机参数和观测到的星坐标P_d计算；星表的精度很高，用V求出的观测量σ_vi具有很好的精度；

1.2)、利用上述模型进行在轨标定

在某一时刻下，由光学视场捕获恒星目标，并成像在探测器上，通过对探测器上的图像进行星图预处理及质心计算获取恒星在图像中的质心位置，即标定过程中的恒星图像坐标位置；利用图像中恒星的位置，结合地面初始标定获取的光学系统参数信息，可以得到相机坐标系中星点坐标的粗略位置，通过星图识别与星表中的恒星矢量位置比对，即可获取与图像中恒星位置相对应的空间坐标位置；此时已知恒星的图像坐标和空间坐标，即可进行在轨标定工作；

基于扩展卡尔曼滤波器(EKF)估计相机参数；状态转换和测量模型是

x_k＝I_6×6·x_k-1 (14)

z_k＝h(x_k)+n_c,i＝1,2,3 (15)

其中x_k＝[s,f,u₀,v₀,k₁,k₂]^T，x_k和x_k-1分别是标记为k和k-1的恒星图像的状态，假设相机参数为常数，I_6×6是一个单位矩阵，z_k＝[σ₂,σ₃]^T可以用导航星矢量V计算，h(x_k)是SV(F(s,f,u₀,v₀,k₁,k₂,P_d))的简化表示，n_c是由噪声引起的测量误差；从地面标定得到的噪声协方差P₀和参数x₀的初始估计开始，逐帧处理校准；对于第k个星图像，EKF预测方程为

其中Q是先验估计误差的协方差矩阵；

EKF更新方程为

其中R是观测噪声的协方差矩阵；H_k是观测的雅可比矩阵

由于h模型是复杂的，所以我们采用数值微分法来计算雅可比矩阵；

步骤2)所述的利用可观测性对模型进行优化是：

可观测性是评价系统可行性的指标，即在不同的模型下，相同的输入推导可能导致不同的输出推导；如果输出推导的幅度较大，则可观测性更好，系统更可行，反之亦然；根据可观测性的定义，可以得到

δz_k＝H_kWδx (22)

其中δx是所有参数具有相同推导的输入推导向量，δz_k是输出推导，H_k是雅可比矩阵；由于实际中不同参数的精度差异很大，这意味着δx不能代表不同参数的实际推导；δx应根据不同精度的大小进行加权，W是对角加权矩阵，其元素是根据现场实验中的星敏感器得出的典型参数精度；

所以可观测性矩阵是

H'_k＝H_kW (23)

再次使用奇异值分解，利用可观测矩阵的奇异值分解，公式(22)可表示为

δz_k＝P_k∑_kQ_kδx (24)

其中P_k和Q_k分别是左奇异向量和右奇异向量的正交矩阵；为了确保H’_k是可观测的，将∑_k定义为6×N对角矩阵，对角元素是非零奇异值σ_i(i＝1～6)；

由于P_k和Q_k是正交矩阵，可计算

其中||δx_k||₂和||δz_k||₂分别为δx和δz_k的2范数；

输出推导的下确界为

其中σ_min是可观测矩阵的最小奇异值(MSV)；很明显，σ_min越大，输出推导的最小值越大，可观测性越好；因此，采用σ_min作为评价系统性能的指标，寻找合适的标定模型；

步骤2.2)所述的奇异值的选择是：

三个奇异值对状态变量变化的敏感度是完全不同的；σ₁,σ₂和σ₃是三个具有降序的奇异值，σ₁的可观测性比σ₂,σ₃差；

矩阵W的奇异值分解的物理解释，黑色矢量表示恒星矢量w_i；根据奇异值分解的定义，左奇异向量p_wi(i＝1,2,3)是单位向量，因此W的最大奇异值的平方为

其中p_max表示与最大奇异值σ₁相关的左奇异向量；

公式(27)表明，p_max是使每个恒星矢量w_i的投影之和达到最大值的矢量；同样，与最小奇异值σ₃相关联的p_min是使每个星向量w_i投影到p_min上之和最小的向量；然后，与中间奇异值相关联的p_middle垂直于p_max和p_min生成的平面；

由于p_max和w_i是单位向量，因此公式(27)可以重写为

其中α_i是w_i与p_max的夹角，它也给出了星矢量w_i对p_max的投影；因此，σ₁的推导在sinα_i的大小上，由于p_middle和p_min生成的平面垂直于p_max，因此σ₂和σ₃与sinα_i成比例，σ₂和σ₃的推导在cosα_i的大小上，对于较小的视场，所有sinα_i都小于cosα_i，因此σ₁的推导小于σ₂和σ₃，这与可观测性分析是一致的；因此，为了减少计算量，采用σ₂和σ₃作为观测量。

2.根据权利要求1所述的基于奇异值分解的星敏感器在轨标定方法，其特征在于：步骤2.1)所述的最优星组合模型的选择是：

对于超过三颗星，有三个非零奇异值，因此组合可以由三颗星、四颗星组成；如果所有的组合都被用来构成观测模型，计算量是巨大的；此外，组合不独立，校准信息不随组合数量的增加而增加；

设视场中有n颗星星，考虑如下几种模型：

模型1：三颗星组成一个组合，如1-2-3、2-3-4、3-4-5；

模型2：个星，为向下取整，构成一个组合；

模型3：N-1个星构成一个组合；

模型4：与其他模型不同，该模型结合了不同数量的星形组合，如1-2-3、1-2-3-4、1-2-3-4-5；

根据可观测性分析，模型4的最小奇异值总是最大的，这意味着模型4的可观测性比其他模型好，所以将模型4作为最佳组合模型。