[发明专利]基于Marshall-Olkin扩展指数分布的可靠性分析方法

权利要求书

1.基于Marshall-Olkin扩展指数分布的可靠性分析方法，其特征在于，基于该分布的广义逐步混合截尾模型可靠性分析方法，具体按照以下步骤实施：

步骤1、关于符合Marshall-Olkin扩展指数分布的样品寿命，在广义逐步混合截尾下，建立关于未知参数的似然函数，所述未知参数为形状参数、尺度参数，并求对数似然函数；具体过程为：

假设符合Marshall-Olkin扩展指数分布的n个样品进行寿命试验，预定最多失效数为m，最少失效数为r，试验时间为T₀，移走方案为(R₁,R₂，…,R_m)，其中

当第i个产品发生失效时，失效时间记为T_i:m:n；

若T_i:m:nT₀且ir，则从剩余个未失效产品中移走R_i个产品，试验继续进行，当第i+1个失效时刻T_i+1:m:n发生时，从剩余个未失效产品中移走R_i+1个产品，直至第r个产品失效发生时停止试验，并移走个未失效产品；

若T_i:m:n≤T₀且r≤i＜m，试验继续进行，每次失效发生时移走预定的失效数，将出现两种情形：一种情形是在时间T₀前第m个产品失效发生，则试验停止，并将剩余R_m个产品全部移走，另一种情形是试验持续到T₀，此时已观测到的失效数Dm，则试验在T₀时停止，需要移走的未失效数为

Marshall-Olkin扩展指数分布的概率密度函数、分布函数分别为：

由(2)式可得，相应的生存函数为：

式(3)中，α为形状参数，λ为尺度参数；

根据试验过程可知，广义逐步混合截尾试验的停止时间为：max{T_r:m:n,min{T_m:m:n,T₀}}，能够保证获得最少的失效数，当T₀T_m:m:n时试验进行到最少失效数发生，获得失效数据分为三种情形：

情形一：T_1:m:nT_2:m:n…T_r:m:n，若T₀T_r:m:nT_m:m:n；

情形二：T_1:m:nT_2:m:n…T_r:m:n…T_D:m:nT₀，若T_r:m:nT₀T_m:m:n；

情形三：T_1:m:nT_2:m:n…T_m:m:n，若T_r:m:nT_m:m:nT₀；

由上述基于广义混合截尾下的可得到的截尾试验样本，得到似然函数为：

其中

统一公式为：

情形一中：C＝C₁，p＝r，w₂＝0；

情形二中：C＝C₂，p＝D，w₁＝0，

情形三中：C＝C₃，p＝m，w₁＝0，w₂＝0；

对数似然函数为：

步骤2、通过经典统计方法求出该分布未知参数的最大似然估计值和渐近置信区间；

求未知参数的最大似然估计值具体过程为：将式(1)和式(2)式分别代入式(6)式可得，并分别对式(6)中的形状参数α、尺度参数λ求偏导数：

令即可求得未知参数的最大似然估计值；

求未知参数的渐进置信区间的具体过程为：

通过式(6)，获得Fisher信息矩阵：

式(9)中

上面矩阵的逆矩阵的对角线即是对应α,λ的渐进方差，根据大样本理论，统计量服从渐近标准正态分布，因此α,λ的100(1-δ)％即未知参数的渐进置信区间分别为：

其中Z_δ/2为标准正态分布的(δ/2)上侧分位数；

步骤3、在先验分布为伽马分布的条件下，推导未知参数的条件分布函数；所述未知参数的条件分布函数为形状参数α、尺度参数λ的联合后验分布函数；具体过程为：通过伽马先验分布gamma(a,b)估计形状参数α，通过伽马先验分布gamma(c,d)估计尺度参数λ；分别表示为：

g₁(α)∝α^a-1e^-bα；α0,a,b0    (10)

g₂(λ)∝λ^c-1e^-dλ；λ0,c,d0    (11)

a,b,c,d均为超参数；

形状参数α、尺度参数λ的联合后验分布函数为：

式(9)中，

步骤4、采用Metropolis-Hastings抽样算法获得分布未知参数的贝叶斯估计和最大后验密度可信区间，具体过程为：

步骤4.1、在Metropolis-Hastings抽样算法中，形状参数α和尺度参数λ分别满足的分布函数分别为：

式(12)中，

式(13)中，

步骤4.2、选定形状参数α、尺度参数λ的最大似然估计为初始值，记为(α⁽⁰⁾,λ⁽⁰⁾)，设定执行次数l＝1；

步骤4.3、从建议分布中分别采样y，z；

从均匀分布中采样u₁～Uniform[0,1]，u₂～Uniform[0,1]；

如果则接受转移，即α^(l+1)＝y；

否则不接受，即α^(l+1)＝α^(l)；

如果则接受转移，即λ^(l+1)＝z；

否则不接受，即λ^(l+1)＝λ^(l)；

步骤4.4、重复步骤4.3，直至l＝M，然后得到随机样本(α⁽¹⁾,α⁽²⁾,…,α^(M))和(λ⁽¹⁾,λ⁽²⁾,…,λ^(M))；

步骤4.5、根据平方损失函数，得到α,λ的贝叶斯估计为：

步骤4.6、对步骤4的α^(t),λ^(t)进行排序，得到α,λ的1-γ可信区间近似为:(α⁽¹⁾,α^(M[1-γ]+1)),…,(α^(Mγ),α^(M))；(λ⁽¹⁾,λ^(M[1-γ]+1)),…,(λ^(Mγ),λ^(M))

其中[x]表示不大于x的最大整数，上述长度最短的区间是α,λ的最大后验密度可信区间。