[发明专利]一种新型分数阶混沌系统

权利要求书

1.一种新型分数阶混沌系统，其特征在于：其具体设计为

其中，m≠0，当m>0，且0.99<q<0.992时，混沌行为出现；当m<0，且0.992<q<0.994时，该系统表现出混沌行为，该混沌系统的建立步骤如下：

步骤1：首先给出Caputo分数阶导数的定义：

其中q是微分算子的阶数，t和A是极限，w是最小的正整数，w-1<q<w；Γ(*)是伽马函数，f(*)是连续函数；

Caputo分数阶微分的相关性质如下：

性质1：我们考虑一般的分数微分方程

方程的通解是

x(t)＝x(0)E_q(At^q)， (3)

并且Mittag-Leffter函数是

然后根据分数阶系统有限时间稳定性理论，引入以下引理1和引理2；

引理1：对于一般分数阶系统，如果它满足

其中x＝[x₁ x₂ … x_n]，则在有限时间t内，状态函数x趋于零，分数阶系统渐近稳定，其中v＝x(x^q)^T，

引理2：如果a、b＞0和0＜c＜1，则得到如下不等式：

(a+b)^c＜a^c+b^c； (7)

步骤2：构造分数阶混沌系统如下：

其中，m≠0，混沌系统(8)的雅可比矩阵为：

令式(8)的右边等于零，得到式(8)的唯一平衡点是(m，0，-1)，将其代入雅可比矩阵，有

和

当m>0，则由式(9)可知所有特征值的实部为负，因此，这部分的平衡是一个稳定的平衡，此时，系统(8)为一种具有一个稳定平衡点的隐藏型混沌吸引子的分数阶混沌系统；当0.986<q<0.99时，系统状态出现倍周期分叉；当0.99<q<0.992时，混沌行为出现；当q>0.992时，混沌行为逐渐消失；

当m<0，那么λ₁＝-m＞0，式(9)中λ₁的实部是正的；因此，式(8)的平衡是一个不稳定的焦点，它被称为自激吸引子，此时，系统(8)为一种具有自激型吸引子的分数阶混沌系统；当0.988<q<0.992时，系统状态开始出现周期加倍分叉；当0.992<q<0.994时，混沌行为产生；当q>0.994时，混沌行为逐渐消失。

2.根据权利要求1所述的新型分数阶混沌系统，其特征在于：基于分数阶系统的有限时间稳定性理论，设计了具有隐吸引子的分数阶系统的有限时间同步控制器，其步骤为：设驱动系统为式(8)，响应系统如下:

其中，m≠0，n＝0；设e₁＝x₁-x,e₂＝＝y₁-y,e₃＝z₁-z,q＝0.99，误差系统为

然后得到下面的定理；

定理1：对于误差系统式(11)，我们将有限时间同步控制器设计为

其中，k₁和B₁是缩放参数，误差系统(11)在有限时间t₁内收敛于零，且

证明：由引理1得

根据式(7)，得到

因此，我们得到如下结论:

因此，所提控制器(12)满足分数阶稳定性理论，在有限时间t₁内实现了同步。

3.根据权利要求1所述的新型分数阶混沌系统，其特征在于：设计了具有隐吸引子的分数阶系统的组合同步控制器，其步骤为：

首先，给出组合同步的定义：

如果一个驱动系统是由

第二个驱动系统是

那么响应系统是

其中x＝(x₁，x₂，...，x_n)^T，y＝(y₁，y₂，...，y_n)^T，z＝(z₁，z₂，...，z_n)^T，f,g,s:Rⁿ→Rⁿ是三个连续函数，U是设计控制器，是x,y,z对t的倒数；

定义2：对于两个驱动系统(15)、(16)和响应系统(17)，如果存在三个常数矩阵Q、W、E∈Rn和E≠0满足

将其称为组合同步；

设Q＝W＝E＝diag(1，…，1)，两个驱动系统如下:

响应系统为：

然后重新定义了e₁＝x₃-x₂-x₁,e₂＝y₃-y₂-y₁,e₃＝z₃-z₂-z₁，组合同步误差系统为

其中，

然后得到下面的定理：

定理2：对于系统(22)，我们将组合同步控制器设计为

其中k₂和B₂是缩放参数，误差系统(22)在有限时间t₂误差收敛到零，且

证明：从式(22,23,24)有

由引理2，式(26)变为

然后有

因此，所提出的组合同步控制器(24)满足分数阶有限时间稳定性理论，驱动响应系统在t₂时刻同步。