[发明专利]一种基于点云重建三角网格曲面的保特征曲面重建方法

权利要求书

1.一种基于点云重建三角网格曲面的保特征曲面重建方法，其特征在于，包括以下步骤：

首先，对获取的点云数据进行预处理，构建完整的初始连接关系，得到具有完整连接关系的初始网格；

然后，建立能量函数并进行迭代求解，根据结果，更新曲面网格顶点位置并优化连接关系，使初始网格不断逼近点云；

最后，重建一个新的完整的网格曲面，该网格曲面，即为重建的保几何特征的三维曲面；

其中，所述网格曲面，均由三角面片表示。

2.如权利要求1所述的一种基于点云重建三角网格曲面的保特征曲面重建方法，其特征在于，所述点云数据，为包含空间三维坐标信息的点。

3.如权利要求1所述的一种基于点云重建三角网格曲面的保特征曲面重建方法，其特征在于，构建点云完整的初始连接关系时，采用基于球旋转方法，对初始点云进行三角剖分。

4.如权利要求1所述的一种基于点云重建三角网格曲面的保特征曲面重建方法，其特征在于，所述能量函数的建立方法为：

设输入点云P为初始点云，初始网格M由顶点集合V＝{v₁,v₂,...,v_n}和三角形集合F＝{f(v_i,v_j,v_k)|v_i,v_j,v_k∈V,i≠j,i≠k,j≠k}组成，M＝{V,F}；

根据步骤1获取的初始网格M＝{V,F}，建立基于L₁范数数据项和基于内二面角补角的总变差正则项的全局曲面重建能量函数E_global：

E_global＝E_数据项+E_正则项 (1)

记输入点云P顶点集合为P＝{p₁,p₂,...,p_m}，其中，m是输入点云P中的顶点个数；初始网格M的顶点集合为V＝{v₁,v₂,...,v_n}，边集合E＝{e₁,e₂,...,e_d}，边长度集合为L＝{l₁,l₂,...,l_d}，内二面角集合为θ＝{θ₁,θ₂,...,θ_d}，三角形集合F＝{f(v_i,v_j,v_k)|v_i,v_j,v_k∈V,i≠j,i≠k,j≠k}；其中，n(n＜m)是初始网格M中的顶点个数，d是初始网格M中边的个数，边集合e中的边e_i的长度即为长度集合l中的l_i，内面角集合θ中的角度θ_i表示共享边e_i的两个三角面片间的内二面角。

5.如权利要求1所述的一种基于点云重建三角网格曲面的保特征曲面重建方法，其特征在于，对能量函数进行迭代求解，根据结果，更新曲面网格顶点位置并优化连接关系的方法为：

步骤1：顶点优化，具体如下：

定义逼近误差d(S,M)来描述初始网格与原始曲面的逼近度，用顶点集合P近似代替曲面；

定义点p_i到初始网格M的距离为由此估计逼近误差d(S,M)，其中d(p_i,f)是点p_i到三角形f的距离，f由初始网格M的顶点集合V中的三个顶点v_τ,v_s,v_t组成，具体如下：

其中，p′_i＝α^*v_τ+β^*v_s+γ^*v_t是三角形f上距离p_i最近的点，(α^*,β^*,γ^*)是p′_i对应f的重心坐标；；

对于采样点p_i,f＝f(v_τ,v_s,v_t)是初始网格M距离其最近的三角形，f上离p_i最近的点b_i是一个m×1维的向量，该向量最多有三个非零元素和分别对应三个顶点v_τ,v_s,v_t；将p′_i到p_i的位移表示为Vb_i-p_i；

保持初始网格M中已知顶点位置在曲面重建处理之后尽可能逼近原始位置，通过总变差正则项约束，使网格尽量光滑的同时保持网格重要特征；通过最小化能量函数，得到最优的网格顶点位置：

其中，E_f(p′_i,p_i)是数据项，用来使网格尽可能逼近原始曲面；E_r(l,θ)是正则项，用来正则化重建网格；λ是数据项参数；

数据项E_f(p′_i,p_i)计算方法为，计算原始点云与初始网格之间的距离：

其中，p′_i代表初始网格M中p_i对应距离最近f的重心坐标点集p′_i＝{p′₁,p′₂,...p′_m}第i项，p_i代表点云顶点集合P＝{p₁,p₂,...p_m}第i项；||Vb_i-p_i||₁表示Vb_i-p_i的L₁的正则化；

正则项E_r(l,θ)计算方法为，利用二面角约束保持网格特征：

其中，l_i代表初始网格M中边e_i的边长，即边长度集合L＝{l₁,l₂,...,l_d}中第i项；θ_i表示共享边e_i的两个三角面片间的内二面角，(π-θ_i)为该内二面角的补角；两个半平面为Δv₁v₃v₄和Δv₁v₂v₃，二者的共享边为v₁v₃，对应第三个顶点分别为v₂和v₄；定义T₁和T₂是两个长度为||v₁v₃||的向量,T₁是面Δv₁v₃v₄的内法向，T₂是面Δv₁v₂v₃的外法向，T₁和T₂之间的夹角为π-θ,则||v₁v₃|||π-θ|是向量T₁和T₂之间所夹弧的弧长；基于三角面片的边和夹角计算法向量如下：

其中，θ_4,1,3是边v₁v₄和边v₁v₃的夹角，θ_1,3,4是边v₁v₃和边v₃v₄的夹角，θ_2,3,1是边v₂v₃和边v₁v₃的夹角，θ_3,1,2是边v₁v₂和边v₁v₃的夹角；根据T₁,T₂,求得弧长l_i(π-θ_i)，表示为：

其中，

因此，正则项进一步具体计算如下：

其中，K₁代表矩阵||K₁v||₁表示K₁v的L₁正则化；

结合数据项E_f(p′_i,p_i)计算方法与正则项E_r(l,θ)计算方法，则曲面重建能量函数为：

其中，是求满足λ||Vb_i-p_i||₁+||K₁v||₁最小顶点位置，即v；

此时，应用增值拉格朗日方法求解上述曲面重建能量函数，得到最优顶点位置，具体方法为：

步骤1.1：将转化为求解带约束的优化问题：

其中，z＝Vb_i-p_i，x＝K₁v，||z||₁表示z的L₁正则化，||x||₁表示x的L₁正则化；是求满足λ||z||₁+||x||₁最小的z，x；

根据增值拉格朗日方法，将上述约束问题转为泛函鞍点问题：

其中，λ_z和λ_x是拉格朗日乘子；λ_z,z-(Vb_i-p_i)表示λ_z和z-(Vb_i-p_i)的内积，λ_x,x-(K₁v_i)表示λ_x和x-(K₁v_i)的内积；表示z-(Vb_i-p_i)的L₂的范数，表示x-(K₁v)的L₂范数；r_z，r_x是惩罚因子，并且r_z＞0，r_x＞0；则优化问题转化为如下鞍点问题：

其中，是求满足变分方程L(v,z,x；λ_z,λ_x)最小的v,z,x；，

步骤1.2：求解优化鞍点问题

将鞍点问题转化为依次求解3个子问题，然后迭代更新拉格朗日乘子，通过如下方法实现：

子问题1：固定z，x，求解v，即求解v子问题，v子问题转化为如下二次方程形式：

其中，是求满足的v；该问题转化为线性方程求解；

子问题2：固定v，x，求解z，即求解z子问题，z子问题转化为：

其中，是求满足最小的z；

分解并且有如下封闭形式解：

其中，是取0和中的最大值；

子问题3：固定v，z，求解x，即求解x子问题，x子问题转化为：

其中，是求满足最小的x；

有如下封闭解：

其中，是取0和的最大值；

步骤1.3：更新拉格朗日乘子，其中第l+1次的迭代与第l次迭代关系如下：

步骤1.4：迭代求解；

令初值依次迭代求解三个子问题方程，更新拉格朗日乘子，直到满足终止条件；

其中，终止条件为：假设连续两次迭代，如l，l+1次迭代，控制顶点的距离记为当ε小于给定的阈值ε₀时，迭代停止；

步骤2：优化连接关系，具体如下：

建立局部能量函数，通过比较两种不同连接方式下的能量值，选择能量值小的连接方式，然后优化整个网格的连接关系：

步骤2.1：建立局部三角网格中第一种连接方式的基于L₁范数数据项，和基于内二面角补角的总变差正则项的局部能量函数：

其中，局部三角网为整体网格中其中四个顶点构成的四边形网格，对角线连接会构成两个三角面片，且存在两种连接方式；表示原始点云投影到局部网格点的平均距离能量，p_i初始点云，p′_i投影在网格上的点，m₁表示第一种连接方式下投影到局部网格上的点的个数，E_r(l,θ)表示正则项；由于p_i、p′_i、l和θ均为已知值，能够直接求得E_first；

步骤2.2：按照第一种连接方式能量值计算方法，计算第二种连接方式的能量值E_second；

步骤2.3：比较计算出的能量值，选取能量值小的作为拟确定的网格连接方式；具体如下：

min{E_first,E_second} (20)

步骤2.4：将拟确定的网格连接方式的能量值，与网格原本连接关系能量值进行比较；如果拟确定的网格连接方式的能量值更小，则对网格做边交换运算，否则不改变；

步骤3：迭代优化；

迭代优化顶点位置与连接关系，当整体能量值E小于给定的初始阈值E_global时，迭代停止；

当初始网格M经过顶点位置和连接关系迭代优化且达到停止条件，输出经过优化的初始网格曲面。