[发明专利]一对线性约束控制分量下过驱动系统控制可达集确定方法

权利要求书

1.一对线性约束控制分量下过驱动系统控制可达集确定方法，其特征在于，包括以下步骤:

1)将控制集Ω_SLR所有边界面分为个分组；

Ω_SLR为一对线性约束控制分量下过驱动系统的控制集，Ω_SLR的边界由矩形或三角形构成，将构成的所有矩形和三角形称为控制集的边界面；Ω_SLR＝{u_SLR}，u_SLR为仅存在一对线性约束控制分量、其余分量均为独立控制分量的过驱动系统的控制向量，u_SLR＝(u₁,...,u_m)^T，u_{i min}≤u_i≤u_{i max}，i＝1,...,m；

表示唯一存在；第i个分量u_i为对应的第i个执行器的控制作用量，m为执行器的数目；u_{i min}为第i个执行器控制作用量的约束最小值，u_{i max}为第i个执行器控制作用量的约束最大值；若u_SLR的两个分量取值在对应最小值和最大值之间，其余m-2个分量取值为对应的最小或最大值，则所述m个分量形成2^m-2个控制集的边界面；

记u_SLR中任意两个分量为第p个分量和第q个分量，第p个分量和第q个分量取值在对应最小值和最大值之间，1≤p≤m，1≤q≤m,p＜q，其余m-2个分量取值为对应最小或最大值，形成2^m-2个边界面分为一组，称为p-q分组；则控制集所有边界面共得到个分组，每组有2^m-2个边界面，控制集的边界面共个；

2)对步骤1)的个分组中的每一个分组，确定准关键边界面和关键边界面；

一对线性约束控制分量下过驱动系统的控制可达集Φ_SLR为三维空间，表达式如下：

其中，v为过驱动系统的控制可达向量，v＝(v₁,v₂,v₃)^T，其中v_j为第j个控制可达分量，1≤j≤3，m＞3；B为3行m列的控制效率矩阵；

令表示Φ_SLR的边界；记映射到Φ_SLR的像可能在边界的Ω_SLR中边界面为准关键边界面，记映射到Φ_SLR的像一定在边界的Ω_SLR中边界面为关键边界面；记Γ₁为准关键边界面集合，Γ₂为关键边界面集合，Γ₃为准关键边界面和关键边界面集合；三个集合初始化为空集；

2-1)任意选取一个未完成确定准关键边界面和关键边界面的分组记为p-q分组；对p-q分组，构造旋转变换矩阵R，使得控制可达集Φ_SLR的坐标系进行旋转变换后，第1个坐标轴v₁垂直于该p-q分组边界面在Φ_SLR的像；具体构造方法如下：

令C＝R·B，B为3行m列的控制效率矩阵，B中任意三列线性无关，C为两个矩阵相乘得到的矩阵；

记

将R、B代入C＝R·B，则c_1p＝0，c_1q＝0，即：

计算得到r₁₁、r₁₂、r₁₃；

2-2)利用C＝R·B计算C矩阵的第一行(c₁₁,...,c_1m)；

由于矩阵B的任意三列线性无关，其中有且只有c_1p＝0,c_1q＝0,其余c_1i≠0,1≤i≤m,i≠p,i≠q；

当c_1i＞0时,令u_i＝u_{i max}；当c_1i＜0时,令u_i＝u_{i min}；令

u_p＝u_{p max}或u_{p min},u_q＝u_{q max}或u_{q min}，得到四个顶点，确定一个矩形，记为γ₁；

同时，当c_1i＞0时，令u_i＝u_{i min}；当c_1i＜0时,令u_i＝u_{i max}；令

u_p＝u_{p max}或u_{p min},u_q＝u_{q max}或u_{q min}，得到四个顶点，确定一个矩形，记为γ₂；

2-3)确定p-q分组的准关键边界面和关键边界面；具体步骤如下：

2-3-1)对p和q进行判定：

记k为一对线性约束控制分量对应的正奇数；若第p个和第q个控制分量都不是线性约束控制分量，即当{p≠k}且{p≠k+1}且{q≠k}且{q≠k+1}时，则进入步骤2-3-2)；若第p个和第q个控制分量中有且仅有一个是线性约束控制分量，当{p＝k,q≠k+1}或{p＝k+1}或{q＝k}或{p≠k且q＝k+1}时，则进入步骤2-3-3)；若第p个和第q个控制分量是一对线性约束控制分量，即当{p＝k,q＝k+1}时，则进入步骤2-3-4)；

2-3-2)对步骤2-2)得到的γ₁、γ₂依次处理如下：

2-3-2-1)若γ₁的四个顶点的第k个分量、第k+1个分量均为对应约束最大值，即分别为u_{k max}、u_{k+1 max}，则按下式计算d₀₁、d₀₂：d₀₁＝|c_{1 k}·(u_{k max}-u_{k min})|，d₀₂＝|c_{1 k+1}·(u_{k+1 max}-u_{k+1 min})|；d₀₁为c_{1 k}与u_{k max}-u_{k min}之积的绝对值，d₀₂为c_{1 k+1}与u_{k+1 max}-u_{k+1 min}之积的绝对值；

若d₀₁≤d₀₂，则将γ₁的四个顶点的第k个分量改为u_{k min}，其余各分量不变，γ₁修改后的四个顶点确定一个矩形，为一个准关键边界面，记为γ₁₁，将γ₁₁加入集合Γ₁，进入步骤2-3-2-2)；

若d₀₁＞d₀₂，则将γ₁的四个顶点的第k+1个分量改为u_{k+1 min}，其余各分量不变，γ₁修改后的四个顶点确定一个矩形，为一个准关键边界面，记为γ₁₁，将γ₁₁加入集合Γ₁，进入步骤2-3-2-2)；

若γ₁的四个顶点的第k个分量、第k+1个分量不满足均为对应约束最大值，则γ₁为一个关键边界面，将γ₁加入集合Γ₂，进入步骤2-3-2-2)；

2-3-2-2)若γ₂的四个顶点的第k个分量、第k+1个分量均为对应约束最大值，即分别为u_{k max}、u_{k+1 max}，则按下式计算d₀₁、d₀₂：d₀₁＝|c_{1 k}·(u_{k max}-u_{k min})|，d₀₂＝|c_{1 k+1}·(u_{k+1 max}-u_{k+1 min})|；

若d₀₁≤d₀₂，则将γ₂的四个顶点的第k个分量修改为u_{k min}，其余各分量不变，γ₂修改后的四个顶点确定一个矩形，为一个准关键边界面，记为γ₂₁，将γ₂₁加入集合Γ₁，进入步骤2-3-5)；

若d₀₁＞d₀₂，则将γ₂的四个顶点的第k+1个分量改为u_{k+1 min}，其余各分量不变，γ₂修改后的四个顶点确定一个矩形，为一个准关键边界面，记为γ₂₁，将γ₂₁加入集合Γ₁，进入步骤2-3-5)；

若γ₂的四个顶点的第k个分量、第k+1个分量不满足均为对应约束最大值，则γ₂为一个关键边界面，将γ₂加入集合Γ₂，进入步骤2-3-5)；

2-3-3)对步骤2-2)得到的γ₁、γ₂依次处理如下：

2-3-3-1)判定：若{p＝k,q≠k+1}或{q＝k}，则进入步骤2-3-3-2)；若{p＝k+1}或{p≠k,q＝k+1}，则进入步骤2-3-3-6)；

2-3-3-2)步骤2-2)得到两个矩形γ₁、γ₂中，存在一个矩形的四个顶点中第k+1个分量均为u_{k+1 min}，将该矩形重新记为γ₀，γ₀即为一个关键边界面，将γ₀加入集合Γ₂；γ₁、γ₂中存在一个矩形的四个顶点中第k+1个分量均为u_{k+1 max}，将该矩形重新记为π₀，π₀的四个顶点中存在两个顶点的第k个分量为u_{k max}，将这两个顶点的第k+1个分量改为u_{k+1 min}，将π₀修改后的两个顶点与π₀中未修改的两个顶点确定的矩形记为π₁，然后进入步骤2-3-3-3)；

2-3-3-3)构造旋转变换矩阵G，使得控制可达集Φ_SLR的坐标系进行旋转变换后，第1个坐标轴v₁垂直于π₁在Φ_SLR的像；具体方法如下：

令H＝G·B；记

H为矩阵G与矩阵B相乘得到的矩阵；

将G、B代入H＝G·B，当p＝k时，r＝q；当q＝k时，r＝p：

求解得到g₁₁、g₁₂、g₁₃；

2-3-3-4)利用H＝G·B计算H矩阵的第一行(h₁₁,...,h_1m)；

当h_1i＞0时，1≤i≤m,i≠k,k+1,r,调整π₁四个顶点的第i个分量为u_{i max}；当h_1i＜0时,调整π₁四个顶点的第i个分量为u_{i min}；调整完毕后，得到四个新顶点确定一个矩形，记为π₁₁；

同时，当h_1i＞0时,调整π₁四个顶点的第i个分量为u_{i min}；当h_1i＜0时,调整π₁四个顶点的第i个分量为u_{i max}；调整完毕后，得到四个新顶点，确定一个矩形，记为π₁₂；

2-3-3-5)π₁₁的四个顶点经映射v＝B·u_SLR得到的四个点确定一个平面方程，记为f₁(v₁,v₂,v₃,d)＝0，对应的多项式记为δ＝f₁(v₁,v₂,v₃,d)；将γ₀的四个顶点经映射v＝B·u_SLR得到的四个点代入δ＝f₁(v₁,v₂,v₃,d)，所得结果记为δ₁、δ₂、δ₃、δ₄；

若δ₁、δ₂、δ₃、δ₄中正、负数都有，则π₁₂为准关键边界面，将π₁₂加入集合Γ₁，然后进入步骤2-3-5)；若δ₁、δ₂、δ₃、δ₄均为非负数或均为非正数，则将π₁₂的四个顶点经映射v＝B·u_SLR得到的四个顶点代入δ＝f₁(v₁,v₂,v₃,d)，所得结果记为δ₅、δ₆、δ₇、δ₈；若δ₁、δ₅、δ₆、δ₇、δ₈中正、负数都有，则π₁₂为准关键边界面，将π₁₂加入集合Γ₁，然后进入步骤2-3-5)；若δ₁、δ₅、δ₆、δ₇、δ₈均为非负数或均为非正数，则π₁₁为准关键边界面，将π₁₁加入集合Γ₁，然后进入步骤2-3-5)；

2-3-3-6)步骤2-2)得到两个矩形γ₁、γ₂中，存在一个矩形的四个顶点中第k+1个分量均为u_{k+1 min}，该矩形即为一个关键边界面，将该矩形加入集合Γ₂，进入步骤2-3-5)；

2-3-4)对步骤2-2)得到的γ₁、γ₂依次处理如下：

将γ₁的四个顶点中第k个分量为u_{k max}且第k+1个分量为u_{k+1 max}的顶点去掉，剩余三个顶点形成的三角形即为一个关键边界面,记为γ₁₁，将γ₁₁加入集合Γ₂；将γ₂的四个顶点中第k个分量为u_{k max}且第k+1个分量为u_{k+1 max}的顶点去掉，剩余三个顶点形成的三角形即为一个关键边界面，记为γ₂₁，将γ₂₁加入集合Γ₂,进入步骤2-3-5)；

2-3-5)重新返回步骤2-1)，选取下一个未完成确定准关键边界面和关键边界面的分组，直至所有分组均已确定准关键边界面和关键边界面，将集合Γ₁中的所有边界面与集合Γ₂中的所有边界面加入集合Γ₃，然后进入步骤3)；

3)确定控制可达集边界具体步骤如下：

3-1)对Γ₁进行判定：若Γ₁为空集，则进入步骤3-3)；否则，进入步骤3-2)；

3-2)在Γ₁中任意取一个准关键边界面，记为γ₃，对γ₃处理如下：

将γ₃的四个顶点经映射v＝B·u_SLR得到的四个点确定一个平面方程，记为f₂(v₁,v₂,v₃,d)＝0，对应的多项式记为在Γ₂中任意选取一个三角形关键边界面，记为γ₄，将γ₄的三个顶点经映射v＝B·u_SLR得到的三个点代入所得结果记为若中正、负数都有，则将γ₃从Γ₁中去掉，重新返回步骤3-1)；否则，若均为非负数或均为非正数，则在中任选一个不为0的数，记为并依次将Γ₃中每个边界面的每个顶点经映射v＝B·u_SLR得到的点代入所得结果依次记为τ为Γ₃中边界面的个数；若存在整数i,1≤i≤4τ,使得则将γ₃从Γ₁中去掉，重新返回步骤3-1)；否则，若存在整数i,1≤i≤4τ,使得则将γ₃加入Γ₂中，然后重新返回步骤3-1)；

3-3)Γ₂中的所有边界面即控制集的所有关键边界面；将Γ₂中每一个关键边界面的所有顶点经过映射v＝B·u_SLR得到对应控制可达集边界面的所有顶点，从而确定一个控制可达集边界面，该控制可达集边界面为四边形或三角形；Γ₂中所有关键边界面确定的控制可达集边界面，构成控制可达集边界