[发明专利]多对线性约束控制分量下过驱动系统控制可达集确定方法

权利要求书

1.一种多对线性约束控制分量下过驱动系统控制可达集确定方法，其特征在于，包括以下步骤：

1)将控制集Ω_MLR所有边界面分为个分组；

Ω_MLR为多对线性约束控制分量下过驱动系统的控制集，Ω_MLR的边界由矩形或三角形构成，将构成的矩形或三角形称为控制集的边界面；Ω_MLR＝{u_MLR}，u_MLR为多对控制分量为线性约束控制分量的过驱动系统的控制向量，u_MLR＝(u₁,...,u_m)^T，

u_imin≤u_i≤u_imax，i＝1,...,m；

......

为的整数部分；第i个分量u_i为对应的第i个执行器的控制作用量，m为执行器的数目，l为控制向量中线性约束控制分量的对数；u_imin为第i个执行器控制作用量的约束最小值，u_imax为第i个执行器控制作用量的约束最大值；若u_MLR的两个分量取值在对应的最小值和最大值之间，其余m-2个分量取值为对应的最小或最大值，则所述m个分量形成2^m-2个控制集的边界面；

记u_MLR中任意两个分量为第p个分量和第q个分量，第p个分量和第q个分量取值在对应最小值和最大值之间，1≤p≤m，1≤q≤m,p＜q，其余m-2个分量取值为对应最小或最大值，形成2^m-2个边界面分为一组，称为p-q分组；则控制集所有边界面共得到个分组，每组有2^m-2个边界面，控制集的边界面共个；

2)在步骤1)的个分组的每一个分组中，确定准关键边界面和关键边界面；

多对控制分量为线性约束控制分量情况下过驱动系统的控制可达集Φ_MLR为三维空间，表达式如下：

其中，v为过驱动系统的控制可达向量，v＝(v₁,v₂,v₃)^T，其中v_j为第j个控制可达分量，1≤j≤3，m＞3；B为3行m列的控制效率矩阵；

令表示Φ_MLR的边界；记映射到Φ_MLR的像可能在边界的Ω_MLR中边界面为准关键边界面，记映射到Φ_MLR的像一定在边界的Ω_MLR中边界面为关键边界面；记Γ₁为准关键边界面集合，Γ₂为关键边界面集合，Γ₃为准关键边界面和关键边界面集合，所述三个集合初始化为空集；

2-1)任意选取一个未完成确定准关键边界面和关键边界面的分组记为p-q分组；对p-q分组，构造旋转变换矩阵R，使得控制可达集Φ_MLR的坐标系进行旋转变换后，第1个坐标轴v₁垂直于该p-q分组边界面在Φ_MLR的像；具体构造方法如下：

令C＝R·B，B为3行m列的控制效率矩阵，B中任意三列线性无关，C为两个矩阵相乘得到的矩阵；

记

将R、B代入C＝R·B，则c_1p＝0，c_1q＝0，即：

计算得到r₁₁、r₁₂、r₁₃；

2-2)利用C＝R·B计算C矩阵的第一行(c₁₁,...,c_1m)；由于矩阵B的任意三列线性无关，其中有且只有c_1p＝0,c_1q＝0,其余c_1i≠0,1≤i≤m,i≠p,i≠q；

当c_1i＞0时,令u_i＝u_{i max}；当c_1i＜0时,令u_i＝u_{i min}；令u_p＝u_{p max}或u_{p min},u_q＝u_{q max}或u_{q min}，得到四个顶点，确定一个矩形，记为γ₁；

同时，当c_1i＞0时，令u_i＝u_{i min}；当c_1i＜0时,令u_i＝u_{i max}；令u_p＝u_{p max}或u_{p min},u_q＝u_{q max}或u_{q min}，得到四个顶点，确定一个矩形，记为γ₂；

2-3)令K＝{k₁,k₂,...,k_l}；当p为奇数且q＝p+1时，进入步骤2-4)；否则，进入步骤2-5)；

2-4)确定p-q分组的关键边界面；具体步骤如下：

2-4-1)记不含第p个且不含第q个分量的一对线性不等式约束分量为固定对分量；令τ＝1，进入步骤2-4-2)；

2-4-2)若p∈K，则将γ_τ四个顶点的第p个分量为u_{p max}且第q个分量为u_{q max}的顶点去掉，剩余三个顶点形成的三角形记为¹γ_τ，进入步骤2-4-3)；否则，将γ_τ记为¹γ_τ，进入步骤2-4-3)；

2-4-3)依次检查¹γ_τ顶点的所有固定对分量：若¹γ_τ所有顶点的每个固定对分量没有同时为对应约束最大值，则¹γ_τ即为该p-q分组的一个关键边界面，将¹γ_τ加入集合Γ₂，然后进入步骤2-4-4)；否则，将¹γ_τ的顶点的每一对同时为对应约束最大值的固定对分量处理如下：记同时为对应约束最大值的一对固定对分量为第J和第J+1个分量，按如下公式计算¹d₀₁、¹d₀₂：¹d₀₁＝|c_{1 J}·(u_{J max}-u_{J min})|，¹d₀₂＝|c_{1 J+1}·(u_{J+1 max}-u_{J+1 min})|；¹d₀₁为c_{1 J}与u_{J max}-u_{J min}之积的绝对值，¹d₀₂为c_{1 J+1}与u_{J+1 max}-u_{J+1 min}之积的绝对值；若¹d₀₁≤¹d₀₂，则将¹γ_τ三个顶点的第J个分量改为u_{J min}；若¹d₀₁＞¹d₀₂，则将¹γ_τ三个顶点的第J+1个分量改为u_{J+1 min}；所有固定对分量都处理完后，所得三角形或矩形记为²γ_τ，²γ_τ为该p-q分组的一个关键边界面，将²γ_τ加入集合Γ₂，然后进入步骤2-4-4)；

2-4-4)令并进行判定：若τ≤2，则重新返回步骤2-4-2)；否则，已得到该p-q分组的所有关键边界面，该p-q分组没有准关键边界面，进入步骤2-6)；

2-5)在p-q分组中确定准关键边界面和关键边界面，具体步骤如下：

2-5-1)记不含第p个且不含第q个分量的一对线性不等式约束分量为固定对分量；令τ＝1，进入步骤2-5-2)；

2-5-2)记与第p个分量成对的分量为第p'个分量，与第q个分量成对的分量为第q'个分量；若γ_τ四个顶点的第p'个分量均为u_p'min，第q'个分量均为u_q'min，则进入步骤2-5-3)；否则，进入步骤2-5-4)；

2-5-3)依次检查γ_τ四个顶点的每一对固定对分量：若γ_τ四个顶点的每一对固定对分量均没有同时为对应约束最大值，则γ_τ即为该p-q分组的一个关键边界面，将γ_τ加入集合Γ₂，然后进入步骤2-5-20)；否则，对每一对同时为对应约束最大值的固定对分量处理如下：记同时为对应约束最大值的一对固定对分量为第J和第J+1个分量，按如下公式计算¹d₀₁、¹d₀₂：¹d₀₁＝|c_{1 J}·(u_{J max}-u_{J min})|，¹d₀₂＝|c_{1 J+1}·(u_{J+1 max}-u_{J+1 min})|；¹d₀₁为c_{1 J}与u_{J max}-u_{J min}之积的绝对值，¹d₀₂为c_{1 J+1}与u_{J+1 max}-u_{J+1 min}之积的绝对值；若¹d₀₁≤¹d₀₂，将γ_τ四个顶点的第J个分量改为u_{J min}；若¹d₀₁¹d₀₂，将γ_τ四个顶点的第J+1个分量改为u_{J+1 min}；所有固定对分量都处理完后，所得矩形记为¹γ_τ，¹γ_τ为该p-q分组的一个准关键边界面，将¹γ_τ加入集合Γ₁，然后进入步骤2-5-20)；

2-5-4)若γ_τ四个顶点的第p'个分量均为u_p'max、第q'个分量均为u_q'min，则进入步骤2-5-4-1)；若γ_τ四个顶点的第p'个分量均为u_p'min、第q'个分量均为u_q'max，则进入步骤2-5-4-2)；若γ_τ四个顶点的第p'个分量均为u_p'max、第q'个分量均为u_q'max，则进入步骤2-5-4-3)；

2-5-4-1)若p为奇数且则重新返回步骤2-5-3)；若p为偶数且则重新返回步骤2-5-3)；若p为奇数且p∈K，则将第p个分量为u_{p max}的两个顶点的第p'个分量改为u_p'min，所得矩形记为¹γ_τ，并令α₁＝p，进入步骤2-5-5)；若p为偶数且p'∈K，则将第p个分量为u_{p max}的两个顶点的第p'个分量改为u_p'min，所得矩形记为¹γ_τ，并令α₁＝p'，进入步骤2-5-5)；

2-5-4-2)若q为奇数且则重新返回步骤2-5-3)；若q为偶数且则重新返回步骤2-5-3)；若q为奇数且q∈K，则将第q个分量为u_{q max}的两个顶点的第q'个分量改为u_q'min，所得矩形记为¹γ_τ，并令α₂＝q，进入步骤2-5-10)；若q为偶数且q'∈K，则将第q个分量为u_{q max}的两个顶点的第q'个分量改为u_q'min，所得矩形记为¹γ_τ，并令α₂＝q'，进入步骤2-5-10)；

2-5-4-3)若p为奇数，q为奇数，且则重新返回步骤2-5-3)；若p为奇数，q为偶数，且则重新返回步骤2-5-3)；若p为偶数，q为奇数，且则重新返回步骤2-5-3)；若p为偶数，q为偶数，且则重新返回步骤2-5-3)；

若p为奇数，q为奇数，且p∈K，则将第p个分量为u_{p max}的两个顶点的第p'个分量改为u_p'min，所得矩形记为¹γ_τ，并令α₁＝p，进入步骤2-5-5)；若p为奇数，q为偶数，且p∈K，将第p个分量为u_{p max}的两个顶点的第p'个分量改为u_p'min，所得矩形记为¹γ_τ，并令α₁＝p，进入步骤2-5-5)；若p为偶数，q为奇数，且p'∈K，将第p个分量为u_{p max}的两个顶点的第p'个分量改为u_p'min，所得矩形记为¹γ_τ，并令α₁＝p'，进入步骤2-5-5)；若p为偶数，q为偶数，且p'∈K，将第p个分量为u_{p max}的两个顶点的第p'个分量改为u_p'min，所得矩形记为¹γ_τ，并令α₁＝p'，进入步骤2-5-5)；

若p为奇数，q为奇数，且q∈K，则将第q个分量为u_{q max}的两个顶点的第q'个分量改为u_q'min，所得矩形记为¹γ_τ，并令α₂＝q，进入步骤2-5-10)；若p为奇数，q为偶数，且q'∈K，则将第q个分量为u_{q max}的两个顶点的第q'个分量改为u_q'min，所得矩形记为¹γ_τ，并令α₂＝q'，进入步骤2-5-10)；若p为偶数，q为奇数，且q∈K，则将第q个分量为u_{q max}的两个顶点的第q'个分量改为u_q'min，所得矩形记为¹γ_τ，并令α₂＝q，进入步骤2-5-10)；若p为偶数，q为偶数，且q'∈K，则将第q个分量为u_{q max}的两个顶点的第q'个分量改为u_q'min，所得矩形记为¹γ_τ，并令α₂＝q'，进入步骤2-5-10)；

若p为奇数，q为奇数，且p∈K，q∈K，则将第p个分量为u_{p max}的两个顶点的第p'个分量改为u_p'min，第q个分量为u_{q max}的两个顶点的第q'个分量改为u_q'min，所得矩形记为¹γ_τ，并令α₁＝p，α₂＝q，进入步骤2-5-15)；若p为奇数，q为偶数，且p∈K，q'∈K，则将第p个分量为u_{p max}的两个顶点的第p'个分量改为u_p'min，第q个分量为u_{q max}的两个顶点的第q'个分量改为u_q'min，所得矩形记为¹γ_τ，并令α₁＝p，α₂＝q'，进入步骤2-5-15)；若p为偶数，q为奇数，且p'∈K，q∈K，则将第p个分量为u_{p max}的两个顶点的第p'个分量改为u_p'min，第q个分量为u_{q max}的两个顶点的第q'个分量改为u_q'min，所得矩形记为¹γ_τ，并令α₁＝p'，α₂＝q，进入步骤2-5-15)；若p为偶数，q为偶数，且p'∈K，q'∈K，则将第p个分量为u_{p max}的两个顶点的第p'个分量改为u_p'min，第q个分量为u_{q max}的两个顶点的第q'个分量改为u_q'min，所得矩形记为¹γ_τ，并令α₁＝p'，α₂＝q'，进入步骤2-5-15)；

2-5-5)构造旋转变换矩阵G，使得控制可达集Φ_MLR的坐标系进行旋转变换后，第1个坐标轴v₁垂直于¹γ_τ在Φ_MLR的像；具体方法如下：

令H＝G·B；记H为矩阵G与矩阵B相乘得到的矩阵；将G、B代入H＝G·B，得到：

求解得到g₁₁、g₁₂、g₁₃,进入步骤2-5-6)；

2-5-6)利用H＝G·B计算H矩阵的第一行(h₁₁,...,h_1m)；

当h_1i＞0时，调整¹γ_τ每个顶点的第i个分量为u_{i max}；当h_1i＜0时,调整¹γ_τ每个顶点的第i个分量为u_{i min}；其中，1≤i≤m,i≠α₁,α₁+1,q；调整完毕后得到四个新顶点，确定一个矩形，记为²¹γ_τ；

同时，当h_1i＞0时,调整¹γ_τ四个顶点的第i个分量为u_{i min}；当h_1i＜0时,调整¹γ_τ四个顶点的第i个分量为u_{i max}；其中，1≤i≤m,i≠α₁,α₁+1,q；调整完毕后，得到四个新顶点，确定一个矩形，记为²²γ_τ；

令ξ＝1，然后进入步骤2-5-7)；

2-5-7)将^2ξγ_τ记为^3ξγ_τ，进入步骤2-5-8)；

2-5-8)依次检查^3ξγ_τ四个顶点的每一对固定对分量：若四个顶点的每对固定对分量不同时为约束最大值，则将^3ξγ_τ记为^4ξγ_τ，进入步骤2-5-9)；否则，对每一对同时为对应约束最大值的固定对分量处理如下：记同时为对应约束最大值的一对固定对分量为第J和第J+1个分量，按如下公式计算²d₀₁、²d₀₂：²d₀₁＝|h_{1 J}·(u_{J max}-u_{J min})|，²d₀₂＝|h_{1 J+1}·(u_{J+1 max}-u_{J+1 min})|；²d₀₁为h_{1 J}与u_{J max}-u_{J min}之积的绝对值，²d₀₂为h_{1 J+1}与u_{J+1 max}-u_{J+1 min}之积的绝对值；若²d₀₁≤²d₀₂，则将^3ξγ_τ四个顶点的第J个分量改为u_{J min}；若²d₀₁＞²d₀₂，则将^3ξγ_τ四个顶点的第J+1个分量改为u_{J+1 min}；所有固定对分量都处理完后，所得矩形记为^4ξγ_τ，进入步骤2-5-9)；

2-5-9)若ξ＝1，则将^4ξγ_τ记为⁴¹γ_τ，令然后重新返回步骤2-5-7)；否则，将^4ξγ_τ记为⁴²γ_τ，进入步骤2-5-19)；

2-5-10)构造旋转变换矩阵G，使得控制可达集Φ_MLR的坐标系进行旋转变换后，第1个坐标轴v₁垂直于¹γ_τ在Φ_MLR的像；具体方法如下：

令H＝G·B；记H为矩阵G与矩阵B相乘得到的矩阵；将G、B代入H＝G·B，得到：

求解得到g₁₁、g₁₂、g₁₃,进入步骤2-5-11)；

2-5-11)利用H＝G·B计算H矩阵的第一行(h₁₁,...,h_1m)；

当h_1i＞0时，调整¹γ_τ四个顶点的第i个分量为u_{i max}；当h_1i＜0时,调整¹γ_τ四个顶点的第i个分量为u_{i min}；其中，1≤i≤m,i≠α₂,α₂+1,p；调整完毕后，得到四个新顶点，确定一个矩形，记为²¹γ_τ；

同时，当h_1i＞0时,调整¹γ_τ四个顶点的第i个分量为u_{i min}；当h_1i＜0时,调整¹γ_τ四个顶点的第i个分量为u_{i max}；其中，1≤i≤m,i≠α₂,α₂+1,p；调整完毕后，得到四个新顶点，确定一个矩形，记为²²γ_τ；

令ξ＝1，进入步骤2-5-12)；

2-5-12)将^2ξγ_τ记为^3ξγ_τ，进入步骤2-5-13)；

2-5-13)依次检查^3ξγ_τ四个顶点的每一对固定对分量：若四个顶点的每对固定对分量不同时为对应约束最大值，则将^3ξγ_τ记为^4ξγ_τ，进入步骤2-5-14)；否则，对每一对同时为对应约束最大值的固定对分量处理如下：记同时为对应约束最大值的一对固定对分量为第J和第J+1个分量，按如下公式计算²d₀₁、²d₀₂：²d₀₁＝|h_{1 J}·(u_{J max}-u_{J min})|，²d₀₂＝|h_{1 J+1}·(u_{J+1 max}-u_{J+1 min})|；若²d₀₁≤²d₀₂，则将^3ξγ_τ四个顶点的第J个分量改为u_{J min}；若²d₀₁＞²d₀₂，则将^3ξγ_τ四个顶点的第J+1个分量改为u_{J+1 min}；所有固定对分量都处理完后，所得矩形记为^4ξγ_τ，然后进入步骤2-5-14)；

2-5-14)若ξ＝1，则将^4ξγ_τ记为⁴¹γ_τ，令重新返回步骤2-5-12)；否则，将^4ξγ_τ记为⁴²γ_τ，进入步骤2-5-19)；

2-5-15)构造旋转变换矩阵G，使得控制可达集Φ_MLR的坐标系进行旋转变换后，第1个坐标轴v₁垂直于¹γ_τ在Φ_MLR的像；具体方法如下：

令H＝G·B；记H为矩阵G与矩阵B相乘得到的矩阵；将G、B代入H＝G·B，得到：

求解得到g₁₁、g₁₂、g₁₃,进入步骤2-5-16)；

2-5-16)利用H＝G·B计算H矩阵的第一行(h₁₁,...,h_1m)；

当h_1i＞0时，调整¹γ_τ四个顶点的第i个分量为u_{i max}；当h_1i＜0时,调整¹γ_τ四个顶点的第i个分量为u_{i min}；其中，1≤i≤m,i≠α₁,α₁+1,α₂,α₂+1；调整完毕后，得到四个新顶点，确定一个矩形，记为²¹γ_τ；

同时，当h_1i＞0时,调整¹γ_τ四个顶点的第i个分量为u_{i min}；当h_1i＜0时,调整¹γ_τ四个顶点的第i个分量为u_{i max}；其中，1≤i≤m,i≠α₁,α₁+1,α₂,α₂+1；调整完毕后，得到四个新顶点，确定一个矩形，记为²²γ_τ；

令ξ＝1，进入步骤2-5-17)；

2-5-17)依次检查^2ξγ_τ四个顶点的每一对固定对分量：若四个顶点的每对固定对分量不同时为对应约束最大值，则将^2ξγ_τ记为^4ξγ_τ，进入步骤2-5-18)；否则，对每一对同时为对应约束最大值的固定对分量处理如下：记同时为对应约束最大值的一对固定对分量为第J和第J+1个分量，按如下公式计算²d₀₁、²d₀₂：²d₀₁＝|h_{1 J}·(u_{J max}-u_{J min})|，²d₀₂＝|h_{1 J+1}·(u_{J+1 max}-u_{J+1 min})|；若²d₀₁≤²d₀₂，则将^2ξγ_τ四个顶点的第J个分量改为u_{J min}；若²d₀₁＞²d₀₂，则将^2ξγ_τ四个顶点的第J+1个分量改为u_{J+1 min}；所有固定对分量都处理完后，所得矩形记为^4ξγ_τ，进入步骤2-5-18)；

2-5-18)若ξ＝1，则将^4ξγ_τ记为⁴¹γ_τ，令重新返回步骤2-5-17)；否则，将^4ξγ_τ记为⁴²γ_τ，进入步骤2-5-19)；

2-5-19)⁴¹γ_τ的四个顶点经映射v＝B·u_MLR得到的四个点确定的平面方程，记为f₁(v₁,v₂,v₃,d)＝0，f₁(v₁,v₂,v₃,d)＝0对应的多项式记为δ＝f₁(v₁,v₂,v₃,d)；任选步骤2-4-3)得到的一个关键边界面，记为γ₀；将γ₀的三个顶点经映射v＝B·u_MLR得到的三个顶点代入δ＝f₁(v₁,v₂,v₃,d)，所得结果记为δ₁、δ₂、δ₃；若δ₁、δ₂、δ₃中正、负数都有，则⁴²γ_τ为p-q分组的一个准关键边界面，将⁴²γ_τ加入集合Γ₁，然后进入步骤2-5-20)；否则，将⁴²γ_τ的四个顶点经映射v＝B·u_MLR得到的四个点代入δ₁＝f₁(v₁,v₂,v₃,d)，所得结果记为δ₄、δ₅、δ₆、δ₇；若δ₁、δ₂、δ₃、δ₄、δ₅、δ₆、δ₇中正、负数都有，则⁴²γ_τ为p-q分组的一个准关键边界面，将⁴²γ_τ加入集合Γ₁，然后进入步骤2-5-20)；否则，⁴¹γ_τ为p-q分组的一个准关键边界面，将⁴¹γ_τ加入集合Γ₁，然后进入步骤2-5-20)；

2-5-20)令并进行判定：若τ≤2，则重新返回步骤2-5-2)；否则，该p-q分组已确定准关键边界面和关键边界面，进入步骤2-6)；

2-6)重新返回步骤2-1)，选取下一个未完成确定准关键边界面和关键边界面的分组，直至所有分组均已确定准关键边界面和关键边界面，将集合Γ₁中的所有准关键边界面与集合Γ₂中的所有关键边界面加入集合Γ₃，然后进入步骤3)；

3)确定控制可达集边界具体步骤如下：

3-1)对Γ₁进行判定：若Γ₁为空集，则进入步骤3-3)；否则，进入步骤3-2)；

3-2)在Γ₁中任取一个准关键边界面，记为γ₃，处理如下：

将γ₃的四个顶点经映射v＝B·u_MLR得到的四个点确定的平面方程记为f₂(v₁,v₂,v₃,d)＝0，f₂(v₁,v₂,v₃,d)＝0对应的多项式记为在Γ₂中任取一个三角形关键边界面，记为γ₄，将γ₄的三个顶点经映射v＝B·u_MLR得到的三个点代入所得结果记为若中正、负数都有，则将γ₃从Γ₁中去掉，重新返回步骤3-1)；否则，若均为非负数或均为非正数，则在中任选一个不为0的数，记为并依次将Γ₃中每个边界面的每个顶点经映射v＝B·u_MLR得到的点代入所得结果依次记为ρ为Γ₃中所有边界面的顶点个数之和；若存在整数i,1≤i≤ρ,使得则将γ₃从Γ₁中去掉，重新返回步骤3-1)；否则，若对任意整数i,1≤i≤ρ,均有将γ₃加入Γ₂中，然后重新返回步骤3-1)；

3-3)去掉Γ₂中相同的关键边界面，处理完毕后，形成新的关键边界面集合记为Γ₄；

Γ₄中的所有关键边界面即控制集的所有关键边界面；将Γ₄中每一个关键边界面的所有顶点经过映射v＝B·u_MLR得到对应控制可达集边界面的所有顶点，从而确定一个控制可达集边界面，该控制可达集边界面为四边形或三角形；Γ₄中所有关键边界面确定的控制可达集边界面，构成控制可达集边界