[发明专利]一种超空泡航行体运动稳定性的判断方法

权利要求书

1.一种超空泡航行体运动稳定性的判断方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1，建立超空泡航行体的动力学模型：

超空泡航行体动力学模型的体坐标系原点位于航行体头部空化器顶端面的圆心，X轴的方向与航行体的中心轴线重合指向前，Z轴的方向垂直于中心轴线指向下，把地面系当作惯性系，以研究航行体在纵平面内的运动；建模采用航行体所处的深度z、垂直速度w、俯仰角θ、俯仰角速度q作为状态变量来描述其动力学，垂直速度w的方向与Z轴方向一致，V为纵平面内航行体的合速度；

超空泡航行体的控制输入为尾翼偏转角δ_e和空化器偏转角δ_c，其中δ_e＝k_θθ、δ_c＝15z-30θ-0.3q，k_θ为尾翼偏转角控制变量θ的反馈增益；

由上述各参数的定义得到超空泡航行体的动力学模型：

式中：z(t)、w(t)、θ(t)、q(t)分别对应航行体在t时刻所处的深度、垂直速度、俯仰角和俯仰角速度，F_planing为尾部非线性滑行力；a₂₂(t,τ),a₂₄(t,τ),a₄₂(t,τ),a₄₄(t,τ),b₂₁(t,τ),b₄₁(t,τ),b₂₂,b₄₂,c₂,d₂为该系统方程的系数：

其中，各个变量的含义及取值如下所示：重力加速度g＝9.81m/s²，航行体半径R＝0.0508m，航行体长度L＝1.8m，密度比m＝2，尾翼效率n(t,τ)，升力系数C_x0＝0.82，空化器半径R_n＝0.0191m，空化数σ∈[0.01980,0.03680]；

步骤2，通过动力学地图确定航行体的运动中存在共存吸引子的参数区域，如下：

步骤2-1，基于Lyapunov稳定性理论得到航行体的动力学地图，

基于动力学模型(1)，随机地选取初始条件，依照Lyapunov稳定性理论计算出模型的稳定解(S)、周期解(R)、混沌解(C)，当σ、k_θ的取值为σ∈[0.01980,0.02738]，k_θ∈[-0.27,23.37]，解得式(1)的最大Lyapunov指数小于零，状态变量z、w、θ、q均收敛于稳定平衡点，航行体稳定运动；当σ∈[0.01980,0.03680]，k_θ∈[-50,24.78]，式(1)的最大Lyapunov指数等于零，状态变量z、w、θ、q均以平衡点为中心周期振荡，航行体周期运动；当σ∈[0.03060,0.03352]，k_θ∈[-3.88,7.85]，式(1)的最大Lyapunov指数大于零，z、w、θ、q均发生剧烈的非周期振荡，产生振动与冲击，进而导致航行体的倾覆；当σ∈[0.01980,0.03258]，k_θ∈[23.82,50]时属于发散部分，系统发散，航行体无法航行；

步骤2-2，分析动力学地图

情况1：σ∈[0.02333,0.02838]，k_θ∈[4.73,20.15]时，稳定解(S)与周期解(R)相互穿插；σ∈[0.02737,0.02906]，k_θ∈[20.15,36.57]，稳定解(S)与周期解(R)以及发散状态交织在一起；该范围内存在平衡点吸引子与周期吸引子共存的现象；

情况2：σ∈[0.03175,0.03273]，k_θ∈[-7.86,6.78]范围内，混沌解(C)周期性散布在周期解(R)中，在周期吸引子与混沌吸引子共存的现象；

情况3：σ∈[0.01980,0.02822]，k_θ∈[17.16,32.59]范围内，稳定解(S)散布在发散部分(D)中；

情况4：σ∈[0.02973,0.03680]，k_θ∈[20.65,50.00]围内，周期解(R)散布在发散部分(D)中；

在上述范围内，随着空化数σ的微小变化，总是会引起运动状态的转变，存在吸引子共存的现象；

步骤3，采用相轨图验证不同参数处共存吸引子的类型，如下：

在步骤2-2的第1种情况中随机选取参数组合a(σ,k_θ)＝(0.02468,3.42)，当初始条件为α₁(z₀,w₀,θ₀,q₀)＝(-0.1241，1.4897，1.4090，1.4172)时，系统方程(1)的解收敛于一个平衡点吸引子航行体稳定运动；当初始条件为α₂(z₀,w₀,θ₀,q₀)＝(-0.1022，-0.2414，0.3192，0.3129)时，方程(1)的解收敛于一个周期吸引子，航行体周期振荡；

在步骤2-2的第2种情况中随机选取参数组合b(σ,k_θ)＝(0.02838,59.01)，当初始条件为β₁(z₀，w₀，θ₀，q₀)＝(-0.1924，0.8886，-0.7648，-1.4023)时，系统方程(1)的解收敛于一个周期吸引子，航行体周期振荡；当初始条件为β₂(z₀，w₀，θ₀，q₀)＝(-1.0616，2.3505，-0.6156，-0.7481)时，航行体剧烈振荡甚至失稳；

在步骤2-2的第3种情况中随机选取参数组合c(σ,k_θ)＝(0.02788,8.87)，当初始条件为γ₁(z₀,w₀,θ₀,q₀)＝(-0.8314,-0.9792,-1.1564,-0.5336)时，系统方程(1)的解收敛于一个平衡点吸引子，航行体稳定运动；当初始条件为γ₂(z₀,w₀,θ₀,q₀)＝(0.0229,-0.2620,-1.7502,-0.2857)时，系统方程(1)无解，系统发散，航行体倾覆；

在步骤2-2的第4种情况中随机选取参数组合d(σ,k_θ)＝(0.02434,-87.83)，当初始条件为δ₁(z₀，w₀，θ₀，q₀)＝(-1.0891，0.0326，0.5525，1.1006)时，系统方程(1)的解收敛于一个周期吸引子，航行体周期振荡；当初始条件为δ₂(z₀，w₀，θ₀，q₀)＝(-1.0891，0.0326，0.5525，1.1006)时，系统方程(1)无解，系统发散，航行体倾覆；

步骤4，根据吸引域大小和形状随参数的变化判断航行体的运动稳定性，如下：

根据步骤3中四种类型的共存吸引子现象，分别在四种参数组合处，通过吸引域将不同初始条件下超空泡航行体的运动稳定与否直观地表示出来；在超空泡航行体系统中，稳定解和周期解吸引域越大，在不同的发射条件下，航行体保持稳定航行的概率越高，运动稳定性越好；

1)稳定吸引子与周期吸引子共存的吸引域

在步骤2-2的第1种情况的范围σ∈[0.02333,0.02838]，k_θ∈[4.73,20.15]、σ∈[0.02737,0.02906]，k_θ∈[20.15,36.57]区域中，随机选取四组不同的参数组合，得到吸引域在z₀-θ₀上的截面，参数组合分别为：σ₁＝0.02468，k_θ1＝3.42；σ₂＝0.02603，k_θ2＝5.90；σ₃＝0.02721，k_θ3＝7.47；σ₄＝0.02855，k_θ4＝9.36；其中，σ₁≈σ₂≈σ₃≈σ₄，k_θ1＜k_θ2＜k_θ3＜k_θ4，其形状近似为平行四边形；当初始发射深度和初始发射俯仰角z₀、θ₀在图中稳定解(S)区域中取值时，航行体在平衡点处稳定运动；当z₀、θ₀对应周期解(R)区域中的点时，航行体则周期振荡；当初始运动参数值对应发散解(D)区域中的点时，系统发散，航行体无法航行；

S_a1、S_a2、S_a3、S_a4分别为稳定吸引子与周期吸引子共存的吸引域面积，S_a1＝12.31、S_a2＝10.25、S_a3＝9.34、S_a4＝3.48，S_a1S_a2S_a3S_a4，空化数变化可忽略不计，吸引域面积随尾翼偏转角反馈控制增益k_θ的增大而减小；在此类参数范围内，σ∈[0.02333,0.02838]，k_θ∈[4.73,20.15]、σ∈[0.02737,0.02906]，k_θ∈[20.15,36.57]，k_θ的取值越大，稳定平衡点和周期吸引子的吸引域越小，运动稳定性越差；2)周期吸引子与混沌吸引子共存的吸引域；

在步骤2-2的第2种情况的范围σ∈[0.03175,0.03273]，k_θ∈[-7.86,6.78]区域中随机选取四组参数组合，得到吸引域在z₀-θ₀上的截面，其中周期吸引子与混沌吸引子共存的吸引域的参数组合分别为：σ₁＝0.02838，k_θ1＝-59.01；σ₂＝0.03136，k_θ2＝-67.44；σ₃＝0.03238，k_θ3＝-62.63；σ₄＝0.03259，k_θ4＝-56.04，稳定解(S)区域代表最终落入周期轨道的初始运动参数，航行体周期运动；混沌解(C)区域代表最终落入混沌状态的初始运动参数，航行体运动失稳甚至倾覆；发散解(D)区域代表使系统发散的初始运动参数；

为了保证航行体的运动稳定性，应避免选择分形边界的参数组合；

3)稳定平衡点的吸引域

在步骤2-2的第3种情况的范围σ∈[0.01980,0.02822]，k_θ∈[17.16,32.59]区域中选取四组参数组合，得到吸引域在z₀-θ₀上的截面，其中，稳定吸引子的吸引域的参数组合分别为：σ₁＝0.02788，k_θ1＝8.87；σ₂＝0.02838，k_θ2＝9.37；σ₃＝0.02754，k_θ3＝11.06；σ₄＝0.02636，k_θ4＝-10.04；当初始运动参数z₀、θ₀在稳定解(S)区域中取值时，形成将整个航行体包裹起来的超空泡，航行体稳定运动，当初始运动参数超出了稳定解(S)边界，航行体便运动失稳；

平衡点吸引域的大小随着参数组合c(σ，k_θ)的变化而变化；S_c1、S_c2、S_c3、S_c4分别为稳定吸引子的吸引域的吸引域面积，S_c1＝6.78、S_c2＝3.27、S_c3＝2.16、S_c4＝0.65，S_c1S_c2S_c3S_c4，在该范围中，空化数的变化可以忽略不计，尾翼偏转角反馈控制增益k_θ取值越小，吸引域的面积越大，运动稳定性越好，航行体更易于稳定航行；

4)周期吸引子的吸引域

在步骤2-2的第4种情况即σ∈[0.02973,0.03680]，k_θ∈[20.65,50.00]区域中选取四组参数组合。得到吸引域在z₀-θ₀上的截面；其中，周期吸引子的吸引域的参数组合分别为：σ₁＝0.02434，k_θ1＝-87.83；σ₂＝0.03040，k_θ2＝-91.93；σ₃,＝0.02805，k_θ3＝-90.90；σ₄＝0.03428，k_θ4＝-89.88；当初始运动参数z₀、θ₀在周期解(R)区域中取值时，航行体尾部不时地与空泡碰撞，航行体周期运动；当z₀、θ₀对发散(D)区域中的点时，系统发散，航行体运动失稳；

周期吸引子的吸引域范围随着控制增益k_θ值的增大逐渐减小。在σ∈[0.02973,0.03680]，k_θ∈[20.65,50.00]范围内，航行体的运动稳定性随k_θ值的增大而减弱。