[发明专利]基于节点重叠型区域分解无Schwarz交替的有限元并行计算方法

说明书

本发明提供一种基于节点重叠型区域分解无Schwarz交替的有限元并行计算方法，包含以下步骤：各个进程协作分解全局网格；所述各个进程建立重叠一层的数据交换区域；所述各个进程协作建立区域通信拓扑及重叠区域ghost点收发结构；进程按照有限元节点在单元内的局部编号完成单元矩阵装配，再根有限元节点在单元内部的局部编号到区域内的编号的映射，完成区域矢量和矩阵装配。本发明通过基于节点的ParMetis重叠区域分解无Schwarz交替迭代的有限元并行计算方法，可通用于复杂结构、电磁、声、热、流体等多物理场及耦合场，且收敛性能与串行保持一致。

技术领域

本发明涉及并行计算的技术领域，具体而言，尤其涉及基于节点重叠型区域分解无Schwarz交替的有限元并行计算方法。

背景技术

区域分解方法(DDM)是一种偏微分方程的数值方法，它的中心思想是把所求解问题的解区域分解为多个子区域，通过利用公共边界上的传输条件协调各个子区域，达到在子域上求解的目的。区域分解法(DDM)在早期仅仅是一种串行算法，并不能适应并行计算应用。近些年，随着并行计算机和并行算法的迅速发展，基于区域分解的有限元并行计算正成为解决具有复杂区域或复杂过程的强有力工具。

基于非重叠区域分解(NDDM)容度矩阵法的有限元并行计算方法。首先需要将结构有限元网格剖分为若干个互不重叠的子区域，然后按照先内部自由度后边界自由度的编号原则，各子区域同时独立形成内部自由度和边界自由度相互耦合的系统平衡方程。然后采用Schur补偿算法对系统平衡方程进行解耦。最后得到每个子区域只含边界自由度未知量的界面方程和只含内部自由度未知量的方程。该解耦系统的求解策略是①各子区域通过通信和相互协作共同求解界面方程，得到边界自由度未知量的值；②各子区域根据求得的边界自由度未知量的值，同时独立回带求解各子区域内部自由度未知量的值。这样就得到了每个子区域的所有自由度未知量值。属于非重叠型区域分解，实现繁琐、工作量大、求解器针对性单一、灵活性差。难以处理复杂多物理场。容度矩阵法从求解过程看，在每一迭代内部是两步求解。需要在界面容度矩阵系统求出后，才能回代求解内部自由度平衡系统。而界面容度矩阵是全局性的稠密矩阵，求解时间会随着核数增大而大幅度增加。这是因为界面方程的规模会随子区域数目的增加而急剧增大，从而导致需要更多的迭代次数才能收敛。当存在接触、滑动等非线性边界时，容度方程的收敛是相当困难的。

容度矩阵法计算时的通信主要集中在界面方程的求解过程中，而其它大部分操作可在各子区域内独立完成。因此，界面方程规模较小时，它能够获得较高的并行计算效率。然而对大规模有限元计算而言，为有效利用超级计算机的大量处理器内核资源，常将有限元网格剖分为大量的子区域。此时界面方程的规模和条件数会随子区域数目的增多而急剧增大，不宜用直接法求解，也将导致迭代法在求解时需要更多的迭代次数才能收敛。界面方程迭代收敛性变差和通信开销的大幅度增加就严重降低了界面方程求解效率，这必然导致界面方程求解总时间以及系统求解总时间大幅度增加，从而严重影响系统整体的并行计算效率。

基于非重叠区域分解D-N(Dirichlet-Neumann)交替算法的有限元并行计算方法。将结构有限元网格剖分为若干个互不重叠的子区域。首先每个子域同时独立用在共享边界上的初始值解Dirichlet问题，然后每个子域得到共享边界上的法向导数值。各子域通过通信和相互协作对上一步获得的法向导数进行预处理。每个子域同时独立用此预处理后的法向导数作为边界解Neumann问题。得到Neumann问题解后，每个子域用Neumann数据更新共享边界上的自由度值，各子域再次通过通信和相互协作对获得的边界自由度值进行预处理，作为下一轮迭代的Dirichlet问题的边界初值。如此反复迭代，就可使迭代序列收敛于全局总体系统平衡方程。当然，也可以先解Neumann问题，后求Dirichlet问题。

实际上，D-N交替法与技术1容度矩阵法存在联系，O.B.Widlund讨论证明了D-N交替法和技术1容度矩阵法间的联系。