[发明专利]一种基于原子范数最小的互质阵列协方差矩阵重构方法

权利要求书

1.一种基于原子范数最小的互质阵列协方差矩阵重构方法，其特征在于：首先利用广义增广法得到部分完备的互质阵列虚拟协方差矩阵，并转换为Toeplitz矩阵填充问题，然后利用截断的均值奇异值门限法得到虚拟协方差矩阵初值，再对其进行原子范数最小化求解，实现稳健的正定Toeplitz协方差矩阵重构。

2.如权利要求1所述的一种基于原子范数最小的互质阵列协方差矩阵重构方法，具体包括如下步骤：

S1、将直接数据协方差矩阵(DDC，Direct Data Covariance)的相关项冗余平均后得到协方差相关项，即

其中Φ_s为二阶差分阵，M_a＝maxΦ_s为互质阵列孔径，然后将缺失项补零后得到相关矢量再将相关矢量Toeplitz化后得到增广厄密对称Toeplitz矩阵若能根据Toeplitz的厄密对称性，即T(·)表示Toeplitz化算子；

设缺失项为则互质阵列的虚拟阵列协方差矩阵可表示为完备的Toeplitz矩阵为

E₊和E_-为前向和后向移位矩阵，

S2、结合Toeplitz矩阵的结构，利用截断的均值SVT算法保留奇异值分解后大于阈值的奇异值，将缺失对角线元素均值化作为初值，再通过迭代逼近的最优值；

因Toeplitz矩阵厄密对称，奇异值分解即特征值分解，设的特征值分解为

式中diag(·)表示矩阵对角化；

设门限τ＞0，定义特征值门限算子为

其中符号函数

由Toeplitz矩阵性质及门限算子可得Toeplitz矩阵中的缺失相关项及的迭代值分别为

式中mean(·)为对角线求平均值；因此，可通过迭代法将作为下一次迭代对象，获得新的与直至满足迭代截止条件，设迭代后虚拟阵列协方差矩阵为T_c；

S3、根据Toeplitz矩阵的范德蒙(Vandemonde)分解定理，存在向量z满足

其中p_k为特征值，r_k为特征向量；当半正定Hermitian Toeplitz矩阵T(z)为接收阵列的协方差矩阵时，特征向量r_k即为阵列导向矢量r(θ_k)，向量z为协方差矩阵的首列，其原子分解可表示为

式中A_r＝r(θ)|θ∈[-90°，90°]；本发明以均值截断SVT法得到的虚拟阵列协方差矩阵T_c作为初值，利用原子分解法将互质阵列的虚拟阵列协方差矩阵重构问题表示为

其中μ为正则系数；

因原子分解类似于矩阵的秩，是非凸的，难以求解，故对其凸松弛后得到原子范数最小问题，即

上式中原子范数||z||_A定义为

由Vandermonde分解定理可知，低秩Teoplitz矩阵T(z)≥0可唯一分解为

又因矩阵Y(z)的迹满足

再由原子范数的定义可知，原子范数项等效为

||z||_A＝Tr(T(z))/(M_a+1) (15)

由矩阵填充理论，基于原子范数最小的协方差矩阵填充问题可表示为

其中τ＝μ/M_a+1。