[发明专利]一种基于标架场的平面区域参数化构造方法

权利要求书

1.一种基于标架场的平面区域参数化构造方法，其特征在于：该方法具体包括以下步骤：

步骤1、建立二维几何CAD模型，利用Delaunay三角化算法来获得表达二维几何CAD模型区域的背景三角形网格；然后，计算二维几何CAD模型位于边界上的点的标架和矢量；

其中，标架表示为：

式中，m＝3，0≤k≤3，标架中第k个向量θ_x为向量在x方向的分量，θ_y为向量在y方向的分量；二维几何CAD模型位于边界上的点的正切角z计算公式如下：

z＝atan(y₀,x₀)/2

x₀，y₀分别表示二维几何CAD模型位于边界上的点的x轴，y轴坐标，z∈[-π/4,π/4]；

其中，矢量表示为：式中，为位于二维几何CAD模型上的任意点，为二维几何CAD模型的边界区域；

步骤2、建立拉普拉斯方程并求解位于二维几何CAD模型内部区域Ω的点的矢量，具体如下：

步骤2.1基于二维几何CAD模型的边界区域上所有点的矢量，建立拉普拉斯方程，具体如下：

其中Δ为拉普拉斯算子，为点在i方向的矢量分量；为点在i方向的矢量分量具体表达形式，已由步骤1中的矢量表示得到；

步骤2.2根据拉普拉斯－贝尔特拉米算子的离散化来解拉普拉斯方程，求得二维几何CAD模型的内部区域Ω光滑矢量场，具体如下：

背景三角形网格中位于二维几何CAD模型内部区域的任一点的离散化拉普拉斯－贝尔特拉米算子表达为：

其中，Δ_m为拉普拉斯－贝尔特拉米算子，为周围所有相邻点的集合，是点周围的第j个相邻点，假定相邻点个数有n个，则1＜＜j＜＜n；若j≠1时，α和β分别是点周围连续两个相邻三角形网格单元和中的公共边所对应在三角形网格单元和中的夹角，若j＝1时，α和β分别是点周围连续两个相邻三角形网格单元和中的公共边所对应在三角形网格单元和中的夹角；根据以点为顶点的各个三角形网格单元分别计算得到一个点q，所有点q依次连线所构成的面积为其中，若以点为顶点的三角形网格单元为锐角三角形，则q为该三角形网格单元的外心，若以点为顶点的三角形网格单元为钝角三角形，则q是该三角形网格单元钝角相对边的中点；为围绕在点周围的第j个相邻点的矢量，为点的矢量；假设背景三角形网格中位于二维几何CAD模型内部区域的点有N个，针对每个内部区域的点建立的式(1)代入式(2)，得到N个仅含N个不同未知量的方程；该N个方程通过重新排列已知量和未知量，得到以下线性方程：

其中，矩阵A的每个元素为二维几何CAD模型内部区域每一网格点的系数之和矩阵的每个元素为二维几何CAD模型内部区域每一网格点待求的矢量，矩阵的每个元素为二维几何CAD模型内部区域每一网格点的第j个相邻点的带有系数的矢量之和通过求解式(3)，获得拉普拉斯方程的解；

步骤3、设定角度θ_z为x轴沿逆时针旋转到与中的一个方向相同时所转过的最小角度，角度θ_p为x轴沿逆时针方向旋转到与方向相同时所转过的最小角度，则有：

θ_p＝4θ_z (4)

因此，根据步骤2求得的位于二维几何CAD模型内部区域Ω的点的矢量，结合公式(4)求得位于二维几何CAD模型内部区域Ω的点的标架，建立二维几何CAD模型内部区域的标架场；

步骤4、根据所求二维几何CAD模型内部区域的标架场来建立内部流线，并简化内部流线实现区域分解；

对二维几何CAD模型内部区域的任一三角形网格单元[V₁V₂V₃]定义积分：

其中，∮_C代表闭路积分，其积分区域为三角形网格单元的三条边形成的封闭路径，β为三角形网格单元各边上的点的矢量相对x轴的角度，I_C为积分所计算的值，V₁、V₂、V₃为三角形网格单元的三个顶点，设从顶点V₁的矢量旋转到顶点V₂的矢量经过的角度为Δ₁₂，从顶点V₂的矢量转到顶点V₃的矢量经过的角度为Δ₂₃，从顶点V₃的矢量转到顶点V₁的矢量经过的角度为Δ₃₁，则若则该三角形网格单元内部无奇异点；若则该三角形网格单元内部存在奇异点且奇异点的价为4-I_C，奇异点位置视为三角形网格单元的垂心处；奇异点所流出的流线条数为价数，且所流出的相邻流线之间角度为2π/v，其中，v为奇异点的价；

对于不含奇异点的三角形网格单元[V₁V₂V₃]中流线走向，设流线流入该三角形网格单元[V₁V₂V₃]与该三角形网格单元[V₁V₂V₃]的边产生交点x_i，则通过该三角形网格单元[V₁V₂V₃]的进行线性插值得到点x_i的矢量将矢量沿自身方向延伸至该三角形网格单元[V₁V₂V₃]的边上产生另一个角点x_i+1且求出点x_i+1的矢量将矢量移至点x_i处，最终矢量和相加所得的矢量方向即为流线在该三角形网格单元[V₁V₂V₃]中推进的方向；

至此得到二维几何CAD模型内部区域存在奇异点的三角形网格单元和不含奇异点的三角形网格单元的所有流线；

然后，对二维几何CAD模型内部区域出现以下情况且不存在交点的任意相邻两条流线进行的流线进行简化合并：情况一、相邻两条流线的起点和终点都不是奇异点；情况二、相邻两条流线中一条流线的起点和终点都是奇异点，另一条流线的起点和终点都不是奇异点；情况三、相邻两条流线中一条流线的起点是奇异点，终点不是奇异点，另一条流线的起点不是奇异点，终点是奇异点；简化合并过程为：针对情况一，如果其中一条流线上的任意中间点a在另一条流线上没有找到位置对应的中间点，则根据中间点a与中间点a所在流线起点和终点的距离比L，求出在另一条流线上与起点和终点距离比也为L的插值点坐标，然后将两条流线上每组位置对应的中间点坐标相加后除以2所得的坐标来作为简化合并后新流线上一个中间点的坐标，将两条流线上起点坐标相加后除以2所得的坐标来作为简化合并后新流线上起点的坐标，将两条流线上终点坐标相加后除以2所得的坐标来作为简化合并后新流线上终点的坐标；其中，针对两条流线上的两个中间点，若该两个中间点与各自流线上起点和终点的距离比相等，则视为该两个中间点在各自流线上的位置对应；针对情况二，删除起点和终点都不是奇异点的流线；针对情况三，定义简化合并后新流线的起点和终点分别为两条流线上处于起点位置的奇异点和处于终点位置的奇异点；如果其中一条流线上的任意中间点a在另一条流线上没有找到位置对应的中间点，则根据中间点a与中间点a所在流线起点和终点的距离比L，求出在另一条流线上与起点和终点距离比也为L的插值点坐标；将其中一条流线的每个中间点坐标乘以cos²(t)的值与另一条流线位置对应的一个中间点坐标乘以sin²(t)的值相加后除以2所得的坐标来作为简化合并后新流线上一个中间点的坐标；其中，t在0～1之间取值，t的具体值为其中一条流线上的中间点到该流线起点的距离与该流线起点到终点的距离比值；

步骤5、对二维几何CAD模型内部各子区域的四条边分别进行LSPIA拟合操作转化为样条函数表示形式，并构造Coons面；然后对二维几何CAD模型内部各子区域构造的Coons面运用迭代法进行拉普拉斯光顺，完成整个二维几何CAD模型内部的Coons面构造，从而得到基于标架场的平面区域参数化构造。

2.根据权利要求1所述的一种基于标架场的平面区域参数化构造方法，其特征在于：每个子区域构造Coons面的过程具体如下：给出由四条边所围成的四边形ABCD，边AB、边BC、边CD和边AD沿逆时针方向布置，其中边AB进行LSPIA拟合后的参数表达式为P(u,0)，边BC进行LSPIA拟合后的参数表达式为P(0,v)，边CD进行LSPIA拟合后的参数表达式为P(u,1)，边AD进行LSPIA拟合后的参数表达式为P(1,v)，其中，0≤u≤1,0≤v≤1；然后根据四条边的信息来插值出子区域的内部信息，即构造边AB和边CD的插值表达式P₁(u,v)＝(1-v)P(u,0)+vP(u,1)，构造边AD和边BC的插值表达式P₂(u,v)＝(1-u)P(0,v)+vP(1,v)，因为存在冗余，所以构造冗余表达式P₃(u,v)＝(1-u)(1-v)P(0,0)+u(1-v)P(1,0)+v(1-u)P(0,1)+uvP(1,1)，其中，P(0,0)为表达式P(u,0)中u＝0时的具体值或表达式P(0,v)中v＝0时的具体值，P(1,0)为表达式P(u,0)中u＝1时的具体值或表达式P(1,v)中v＝0时的具体值，P(0,1)为表达式P(u,1)中u＝0时的具体值或表达式P(0,v)中v＝1时的具体值，P(1,1)为表达式P(u,1)中u＝1时的具体值或表达式P(1,v)中v＝1时的具体值；最后，构造Coons面表达式为P(u,v)＝P₁(u,v)+P₂(u,v)-P₃(u,v)。