[发明专利]一种基于有限元超收敛性的静电场光滑有限元数值算法

权利要求书

1.一种基于有限元超收敛性的静电场光滑有限元数值算法，其特征在于，所述光滑有限元数值算法包括以下步骤：

步骤1，输入数据，所述数据为数值数据，包括单元编号、单元节点编号、节点坐标、节点电势值和节点原始电场，所述节点电势值为节点函数值，所述节点原始电场为节点原始梯度值；

步骤2，根据步骤1中的单元节点编号和节点坐标，对所有节点按照单元节点编号顺序循环，并判断其是否为内部节点，所述内部节点为至少预设数目的单元的共同节点；

步骤3，当节点为内部节点时，确定重构点附近的单元集合，计算重构点附近超收敛点坐标和超收敛点原始梯度，以此计算多项式展开和重构梯度；

确定定义域内各节点的重构梯度使得由与形函数N(x，y)确定的梯度为连续，其表达式如下：

其中，σ^*为连续的梯度逼近，N(x，y)为形函数，N(x，y)中的x，y为节点坐标，为重构梯度；

重构梯度由与形函数N(x，y)阶数相同的多项式σ_p展开确定，其表达式如下：

σ_p＝Pa

其中，σ_p为多项式，P为多项式向量，a为待求系数向量；

在所考虑的单元片上利用重构节点周围的一组超收敛点进行最小二乘法拟合来求解待求系数向量a：

其中，z_i＝(x_i，y_i)，1≤i≤n为选取的超收敛点，(x_i，y_i)为超收敛点的坐标，n为超收敛点数量，σ_h(x_i，y_i)为点(x_i，y_i)的梯度，σ_p(x_i，y_i)为多项式，P(x_i，y_i)是将点坐标z_i＝(x_i，y_i)，1≤i≤n带入P＝[1 x y xy]得到的数值向量；

根据G(a)最小化条件，可得：

其中，P^T(x_i，y_i)为P(x_i，y_i)的转置矩阵；

所述系数向量a的表达式为：

a＝A^-1B

在确定了多项式向量P和系数向量a后，将重构点坐标带入并得到得到连续的梯度逼近，即得到连续的电场逼近；

步骤4，当节点不为内部节点时，确定重构点附近的单元集合，计算不同单元中重构点的梯度和重构点梯度平均值。

2.根据权利要求1所述的一种基于有限元超收敛性的静电场光滑有限元数值算法，其特征在于：

在步骤2中，对于双线性四边形单元，所述预设数目为4个。

3.根据权利要求1所述的一种基于有限元超收敛性的静电场光滑有限元数值算法，其特征在于：

对于一维情况，多项式向量P与待求系数向量a的表达式为：

P＝[1 x x²…xⁿ]

a＝[a₁ a₂ a₃…a_n+1]^T

其中，x为坐标值，a₁，a₂，...，a_n+1分别为多项式向量P中1，x，...，xⁿ的系数。

4.根据权利要求1所述的一种基于有限元超收敛性的静电场光滑有限元数值算法，其特征在于：

对于二维情况，在双线性四边形单元中，多项式向量P的表达式为：

P＝[1 x y xy]

其中，x为横坐标值，y为纵坐标值。