[发明专利]一种机械结构不确定性参数量化与相关性分析方法

权利要求书

1.一种机械结构不确定性参数量化与相关性分析方法，其特征在于：

建模方法的实现过程如下；

步骤一 数据异常值处理方法

机械结构的不确定性参数是通过各种测量设备所测得结果来获得，在采用这些参数之前首先要对数据进行处理；

假设对某个参数进行重复n次测量时，参数表示关注的几何量和物理量，其测量值可以构成一个序列x₁,x₂,…,x_n，其算术平均值为：

其各测量值的残差和测量数据的标准偏差σ由下式算出，即：

如果测得数据列x₁,x₂,…,x_n中某个特定量x_i的残差的绝对值满足下式：

则认为x_i为异常值给与剔除；

步骤二 基于小样本数据建立不确定性参数概率模型

对于某一具体参数，数据量不足以支撑进行概率分布统计；利用先验概率分布信息对分布进行初估，再根据后验信息，即有限的试验数据对概率分布参数重新加以估计，能避免由于样本数量不足引起的参数的偏差；具体步骤如下；

设X为一连续性随机变量，代表需要获取的关键参数，假设根据历史数据其先验概率分布密度为f'(x)，后验概率分布密度为f”(x)，根据Bayes公式，有：

式中：P(E|x_i)＝P(E|x_i≤x≤x_i+Δx)是x在区间[x_i,x_i+Δx]的试验概率，Δx为一微小增量；E代表试验结果；k为数据分段数；

由于Bayes统计中假设先验分布与后验分布模型一致，X的后验分布参数近似确定：

式中：为分段区间[x_i,x_i+Δx](i＝1,2,…,k)的中间值；Δx为分段间距，f”(x_i)Δx由公式(5)求得；

如果已知随机变量X的均值μ_x和方差σ_x²，则可通过其分布类型的有关公式求得其概率分布，精确建立不确定性参数的概率模型；

在已经总体上了解不确定性参数的统计分布后，即初步了解分布类型和μ’、σ’；采用上述方法估计具体的分布参数；具体流程如下：

(1)针对测得的有效样本x₁,x₂,…,x_n，首先进行分段，分段原则上保证每段内都有样本的存在，因此分段数应小于样本数，即：k＜n；且为了更好的平衡计算精度和运算量，分段采取非均匀分段形式，越靠近中心，分段越精细；

(2)计算样本落在每个区间的概率，即：P(E|x_i)，为落在该区间样本的个数与样本容量n的比值；

(3)计算f'(x_i)Δx，这里已知先验分布形式和参数，将该区间段的上下界分别带入分布函数即可求得；可通过如下形式表示：

重复以上过程，计算每个区间段内的P(E|x_i)和f'(x_i)Δx；

(4)代入公式(5)，计算每段的后验分布概率f”(x_i)Δx；

(5)代入公式(6)和式(7)，计算分布参数均值和方差；

(6)得到真实的概率分布密度函数，建立不确定性参数的概率分布模型；

步骤三 基于小样本数据建立不确定性参数区间模型

针对小样本试验数据的概率分布特征有时无法确定，建立不确定性参数概率模型无法实现；因此，将灰色预报对小样本参数边界进行估计，避免样本不足引起的区间扩大或者缩小问题；

设数据有效样本为x₁,x₂,…,x_n，称之为容量为n的小样本数据，将其进行n次可放回抽样，形成一组新的样本，记作Y₁；重复以上抽样方法，可以形成P组样本：Y₁,…,Y_P；

将Y₁,…,Y_P中每个样本进行一次升序排列，一次降序排列，分别通过灰色预报模型GM(1,1)预测出下一个值，视其为该样本的上下界；GM(1,1)建模过程如下介绍；设原始数据为x⁽⁰⁾＝{x⁽⁰⁾(1),x⁽⁰⁾(2),…,x⁽⁰⁾(n)}；

进行一次累加生成，弱化序列的波动性和随机性得到新的数列{x⁽¹⁾}：

等权邻均值生成：z⁽¹⁾(k)＝0.5x⁽¹⁾(k-1)+0.5x⁽¹⁾(k),k＝2,3,…,n，即：

定义{x⁽¹⁾}的灰导数为：

dk＝x⁽⁰⁾(k)＝x⁽¹⁾(k)-x⁽¹⁾(k-1)  (11)

于是定义GM(1,1)的灰微分方程为：

dk+az⁽¹⁾(k)＝b        (12)

即：

按照矩阵写出：

即：Y＝Bu；

根据灰色理论对{x⁽¹⁾}建立关于k的白化形式的一阶一元微分方程：

式中：a和b分别称为发展系数和灰色作用量，k为序列数；并且其最小二乘估计参数列满足：

在初始值x⁽⁰⁾(1)＝x⁽¹⁾(1)下，此模型的解为：

再由累减生成原始序列x⁽⁰⁾＝{x⁽⁰⁾(1),x⁽⁰⁾(2),…,x⁽⁰⁾(n)}的预测值：

通过对P组自抽样数据Y₁,…,Y_P进行上述操作，得到区间边界的一组样本，取其均值作为区间边界，兼顾区间的可靠性和区间范围；

步骤四 概率型不确定性参数相关性分析

设输入随机变量向量：

x＝(x₁,x₂,···,x_n)^T     (19)

式中：随机变量x_i(i＝1,2,···,n)的概率密度函数f_i(x_i)和累积分布函数F_i(x_i)已知；通过下式等概率转换原则：

引入标准正态随机向量y＝(y₁,y₂,···,y_n)^T,式中：φ(·)和φ^-1(·)分别为标准正态变量的累积分布函数和逆累积分布函数；

根据Nataf变换理论，利用隐函数求导法则，可以推导出随机变量x的联合概率密度函数为：

式中：为标准正态分布变量的概率密度函数，而：

对应于均值为0、方差为1及相关系数矩阵为ρ₀的n维标准正态随机向量的联合概率密度函数；其中det(ρ₀)表示ρ₀的行列式的值，将式(21)所示的分布模型称为Nataf分布；

设输入随机向量x的相关系数矩阵ρ的分量为ρ_ij，根据相关系数的定义及式(20)和式(21)可得相关系数矩阵各分量的计算表达式为：

式中：ρ_0,ij为标准正态随机向量y相关系数矩阵ρ₀的分量；f_XiXj(x_i,x_j)为第i和第j个变量的联合概率密度函数；

若已知ρ和输入随机变量的边缘概率密度函数，通过式(23)解非线性方程，理论上可以完全确定ρ₀；但是由于ρ_ij和ρ_0,ij的解析关系式是很难给出的，针对各种分布类型，给出了如下的经验公式：

ρ_0,ij＝ρ_ijF      (24)

式中：系数F≥1，它是相关系数ρ_ij以及边缘分布F_Xi(x_i)的函数；

获取标准正态随机向量y的相关系数矩阵R₀＝[ρ_0,ij]，显然R₀是一对称矩阵，将其进行下式所示的Choleskey分解：

R₀＝L₀L₀^T      (25)

式中：L₀为相关系数矩阵R₀经Choleskey分解得到的下三角矩阵；

利用L₀可将相关的标准正态随机向量y转换到独立的标准正态随机向量u，即：

u＝L₀^-1y      (26)

至此建立了Nataf变换的正变换过程(从相关非正态变量x到独立标准正态变量u)；

同样可以建立Nataf逆变换过程如下：

y＝L₀u     (27)

然后结合等概率边缘逆变换，即可得到Nataf变换的逆变换形式和Jacobian矩阵分别为：

x_i＝F_i^-1(φ(y_i))，i＝1,2,···,n，      (28)

符号意义同Nataf正变换一致；

Nataf变换式(26)仍为非线性变换，如果能够将其线性化，显然可以使得问题求解变得容易；可以采用R-F变换对Nataf变换中第一个步骤的“等概率边缘变换”进行替换，将其进行线性化，可得线性化Nataf概率变换公式如下：

容易得到线性化Nataf概率逆变换为：

由于式(31)中的M_X'和D_X'均为x的函数，因此式(31)实际上不能得到解析表达式，在搜索设计点时本文建议利用下式进行迭代计算(其中i代表迭代次数)：

x_i+1＝D_X'(x_i)L₀u_i+M_X'(x_i)     (32)

正、逆线性化Nataf概率变换的Jacobian矩阵分别为：

步骤五 区间变量相关性分析

假设X＝(X₁,X₂,…,X_n)是由n个存在相关性的区间变量构成的区间向量；相关性问题就转化为如何构造仿射坐标系的问题；

仿射坐标系通过原坐标系进行旋转和平移得到，假设仿射坐标系旋转角度为θ，坐标中心坐标为则新旧坐标系下的坐标转化关系表示为：

写成矩阵形式：

若在进行坐标系转换之前，首先对区间参数进行标准化处理，则坐标转换公式则简化为：

X＝A×U      (37)

式中：为转化矩阵，且只和旋转角度有关；

首先已知样本集r为样本点序号；假设样本集中使得纵坐标X₂取最小值的点为p₁，把点p₁与另外的样本点依次连接，得到m-1组线段，按照线段与横轴夹角大小排序，可以得到使得夹角最小的点记作p₂，则包络矩形一条边所在直线为p₁→p₂；

若则：

剔除点过其余所有样本点依次做斜率为tanθ的直线，设该直线与纵轴截距为b_r，则可以找到样本点使得b_r取最大值；此时，就确定了最小包络矩形的另外一条边，即：过点斜率为tanθ；

同样的，剔除点过其余所有样本点依次做斜率为的直线，该直线与纵轴截距也可记作可以找到样本点分别使b_r取最大和最小值；此时，就确定了最小包络矩形的另外两条边，即：斜率为分别过点

确定p₁点对于矩形的确定及其重要，通过寻找使得横纵坐标取得最大最小值的点，找到对应的4个点，作为p₁点；得到对应的多个矩形，面积最小值的矩形为所需最小矩形包络；

最小包络矩形由上述的四条直线所围成，坐标系旋转角度通过式(38)获得；

将其扩展到三维问题，对于空间中任意存在的坐标系P-U₁U₂U₃，已知的坐标系O-X₁X₂X₃都可以通过绕自身坐标轴的旋转平移得到；

式中：θ₁,θ₂,θ₃分别代表绕X₁,X₂,X₃旋转的角度。

2.根据权利要求1所述的一种机械结构不确定性参数量化与相关性分析方法，其特征在于：S1中的预处理中，首先要进行的是剔除异常值，因为异常值往往是由于不可重复的突发事件引起，对不确定性参数的建模具有明显的歪曲影像，应及时发现将其剔除；数据处理中采用“3σ”准则处理。