[发明专利]一种基于齿廓法线法计算齿轮渐开线起始点的方法

权利要求书

1.一种基于齿廓法线法计算齿轮渐开线起始点的方法，其特征在于，包括以下步骤：

1)根据齿轮平面啮合原理，设置滚刀齿廓为第一齿廓，工件齿轮的齿廓为第二齿廓，建立以下坐标系：

①以第一齿廓与第二齿廓的啮合节点P为原点作空间固定的坐标系(P-x，y)；

②以滚刀O₁(P_no/2，h_ao)为原点建立坐标系(O₁-x₁，y₁)，横坐标x₁在滚刀节线上，h_ao为齿顶高，P_no为滚刀法向齿距，在起始位置，坐标系(O₁-x₁，y₁)与坐标系(P-x，y)重合；

③以齿轮中心O₂(S_t/2，r₂)为原点作与齿轮固联的坐标系(O₂-x₂，y₂)，S_t为齿轮端面齿厚，r₂为齿轮节圆半径，所述坐标系(O₂-x₂，y₂)随齿轮的旋转而旋转，在起始位置，y₂轴在O₂P上，O₂P与y轴方向一致，x₂轴与x平行；

2)按照下列步骤计算滚刀齿顶圆弧上的任意点M换算到齿轮齿根曲线上的R_i以及坐标系(O₂-x₂，y₂)下x的坐标

设置第一齿廓上任意点M在坐标系(P-x，y)、(O₁-x₁，y₁)、(O₂-x₂，y₂)中的坐标值分别为(x，y)、(x₁，y₁)、(x₂，y₂)，且当M点成为接触点的时候，齿轮由起始位置转过角，则滚刀由起始位置移动距离接下来求M点在三个坐标系中它们之间的变换关系式。

①啮合线与齿轮滚刀齿顶圆弧的关系方程式为：

式中，(x，y)为点M在啮合线坐标系(P-x，y)中的坐标，(x₁，y₁)为坐标系(O₁-x₁，y₁)中任意一点的坐标，r₂为齿轮分度圆半径，t、t₁是辅助变量，为齿轮旋转角度；

②啮合线与齿轮齿根曲线的方程式如下：

式中，(x₂，y₂)为点M在坐标系(O₂-x₂，y₂)中的坐标，(x，y)为啮合线坐标系(P-x，y)中任意一点的坐标，r₂为齿轮分度圆半径，为齿轮旋转角度，t、t₂是辅助变量；

③根据啮合关系，最终得到齿轮齿根曲线与滚刀齿顶圆弧的关系方程式如下：

式中，(x₂，y₂)为M点在坐标系(O₂-x₂，y₂)中的坐标，(x₁，y₁)为坐标系(O₁-x₁，y₁)中任意一点的坐标，为齿轮的旋转角度，r₂为齿轮分度圆半径，t₁、t₂是辅助变量；

按照下列公式计算得出齿轮上任意点M的圆半径R_M：

式中，x₂为M点在坐标系(O₂-x₂，y₂)中的横坐标，y₂为M点在坐标系(O₂-x₂，y₂)中的纵坐标；

④由滚刀刀具图滚刀齿顶圆弧端面齿形坐标方程：

滚刀齿顶圆弧的法向齿形方程式如下所示：

式中，(x₁，y₁)为M点在坐标系(O₁-x₁，y₁)中的坐标，(x₀，y₀)为滚刀顶刃与滚刀顶圆弧在坐标系(O₁-x₁，y₁)中的交点，β为齿轮的螺旋角，α_pn为滚刀齿形主刀刃的压力角，θ为滚刀顶圆圆弧上任一点与y₁轴的夹角，γ₀为滚刀齿形主刀刃与过渡刃之间的夹角，ρ₀为滚刀齿顶圆弧的圆弧半径；

滚刀齿顶圆弧的端面齿形方程式为：

式中，(x₁，y₁)为M点在坐标系(O₁-x₁，y₁)中的坐标，(x₀，y₀)为滚刀顶刃与滚刀顶圆弧在坐标系(O₁-x₁，y₁)中的交点，β为齿轮的螺旋角，α_pn为滚刀齿形主刀刃的压力角，θ为滚刀顶圆圆弧上任一点与y₁轴的夹角，γ₀为滚刀齿形主刀刃与过渡刃之间的夹角，ρ₀为滚刀齿顶圆弧的圆弧半径；

⑤根据齿轮齿根曲线与滚刀齿顶圆弧的关系方程式，将滚刀齿顶圆弧的圆弧半径变量θ在定义域[0，90°-α_pn+γ₀]内等分n份(n≥1)，且从第n份开始且以θ₀＝0，Δθ＝(90°-α_pn+γ₀)/(n-1)为等差数列的自变量依次映射到坐标系(O₂-x₂，y₂)，其中θ₀＝0，θ_t＝90°-α_pn+γ₀；

当i＝1000时，θ_i＝90°-α_pn+γ₀，由齿轮齿根曲线与滚刀齿顶圆弧的关系方程式R_M(i)得到齿轮初始圆半径R_i|_i＝1000以及

多次重复计算当i＝999、998、997、……、2、1时，齿轮初始圆半径R_i以及

3)按照下列方法得到任意点M‘的R_inv(i)以及任意点M‘的在坐标系(O₂-x₂，y₂)下x坐标x_Pinv(i)的数学表达式，并由齿轮参数计算出渐开线上任意点M‘的P_inv(i)值：

①齿轮齿根曲线渐开线方程为：

式中，(x₂，y₂)为坐标系(O₂-x₂，y₂)中任意一点M‘的坐标，ξ_M(i)为齿轮上点M‘的展开角，ψ_b为齿轮基圆齿厚半角，r_b为齿轮基圆半径；

②建立齿轮渐开线上任意点的圆的半径R_inv(i)与以该任意点的压力角α_t(i)为变量的一元一次方程：

根据渐开线特性，发生线沿基圆滚过的长度等于基圆上被滚过的圆弧长度，即r_bξ_M(i)＝r_btanα_t(i)，α_t(i)为齿轮渐开线上任意一点M‘的压力角，则ξ_M(i)＝tanα_t(i)

③齿轮渐开线上任意点M‘圆的半径R_inv(i)的计算公式如下所示：

式中，x₂为任意点M‘在坐标系(O₂-x₂，y₂)中的横坐标，y₂为M点在坐标系(O₂-x₂，y₂)中的纵坐标；

④根据齿轮任意圆的压力角定义得到下列公式：

⑤将齿轮齿根曲线渐开线方程与ξ_M(i)＝tanα_t(i)代入齿轮渐开线上任意点M‘圆的半径R_inv(i)计算公式，则R_inv(α_t(i))如下所示：

,

式中，r_a为齿轮齿顶圆半径，(x，y)为啮合线坐标系(P-x，y)中任意一点的坐标，ψ_b为齿轮基圆齿厚半角(已知量)，r_b为齿轮基圆半径(已知量)，α_tM‘为齿轮渐开线上任意点(x₂，y₂)的压力角；

4)按照下列迭代法计算得出d_tif如下所示：

①给定值R，已知齿轮渐开线上任意点的圆半径R_inv(α_t(i))，利用二分法，迭代α_t(k)，返回α_t(k)，使得函数f(α_t(k))＝R-R_inv(α_t(k))存在零点近似值，精确度ξ＝10^-5，其中，所述近似值与真实值的误差不超过ξ；

再将得到的α_t(k)带入到齿轮齿根曲线渐开线方程中的横坐标，得到点P_inv(k)，则点P_inv(k)在R圆上，点P_inv(k)的x坐标表示为

②给定滚刀圆弧曲线上第i点，可得到定值R_i以及又由步骤4)中的第①步得出齿轮渐开线上点的圆半径R_inv(i)，假设i＝1000和i＝999时，有通过步骤4)中的第①步可得与

③构造函数利用牛顿下山法寻找使e＝10^-12的定义域：

令比较e与e₀的大小，存在以下三种情况：

⑴当e＞0，e₀＞0且e₀＜e时，令e＝e₀，重新计算i＝998，得再迭代比较e与e₀，直到第N点时，有e·e₀＜0，则此时e_N+1·e_N＜0，θ的定义域为[θ_j，θ_k]，其中j＝N+1，k＝N；

⑵当e＝0时，即为所求，d_tif＝2·R_i|_i＝1000；当e＜0时，此滚刀参数设计有误，需返回重新设计；

⑶e单调且连续可导，在定义域[θ_j，θ_k]内，必存在零点使精确度ξ＝10^-12；

④给定精确度ξ＝10^-12，用二分法求函数e零点近似值：

由步骤4)中的第③步确定区间[θ_j，θ_k]，e_j·e_k＜0，然后根据区间[θ_j，θ_k]的中点θ_mid，计算得到e_mid；

若e_mid＝0，则θ_mid就是函数的零点；

若e_j·e_mid＜0，则令k＝mid；

若e_mid·e_k＜0，则令j＝mid；

最后，判断是否达到精确度ξ＝10^-12，即|θ_j-θ_k|＜ξ，若没有达到零点近似值θ_j或θ_k，则重复计算，直到满足精确度ξ＝10^-12，且计算得出d_tif＝2·R_i；

5)将步骤4)计算得出的数据d_tif与滚刀刀具设计图纸上标注的齿轮渐开线起始圆直径D_tif相对比，若D_tif≤d_tif，则该滚刀不满足设计要求，若d_tif＜D_tif，则该滚刀满足设计要求。