[发明专利]一种考虑介纳观尺度效应的结构等几何拓扑优化方法

权利要求书

1.一种考虑介纳观尺度效应的结构等几何拓扑优化方法，其特征在于：基于应变梯度力学理论，并采用等几何分析方法，以非均匀有理B样条(NURBS)构建微构件的几何模型和分析模型，利用可预设阶次的NURBS基函数嵌套应变梯度理论构建几何分析计算工具；采用基于变密度法结构描述的拓扑优化方法，以单元密度为设计变量进行拓扑优化设计；

所述的一种考虑介纳观尺度效应的结构等几何拓扑优化方法，包括以下步骤：

1)建立介纳观结构优化模型；

2)建立基于应变梯度理论修正的介纳观力学模型：

3)构建微结构等几何分析工具：

3.1)建立等几何几何模型；

3.2)建立等几何分析模型；

3.3)建立等几何求解工具；

4)优化与迭代：通过设计域的不断迭代优化，获得最优的结构构型，

5)输出灰度图形并对灰度图像进行圆整处理；

所述的步骤1)建立介纳观结构优化模型，具体为：

对于微结构力学问题，以单元相对密度ρ为设计变量，以承力性能最佳为优化目标，将结构柔度设为目标函数；设定优化结构材料用量不得超过材料许用量，力平衡控制方程、单元相对密度范围作为约束函数，优化数学模型如下：

式中，ρ＝{ρ₁,ρ₂,...ρ_n}^T是用作设计变量的单元相对密度，0代表无材料，1代表全实体材料，n是设计域包含的等几何单元的个数，Λ是优化问题的目标函数柔度，K是总体刚度矩阵，U是整体位移场，F是边界上的牵引力矢量，v_e为单元体积，f是最终优化结构占设计域体积V^*的百分比上限值；

所述的步骤2)建立基于应变梯度理论修正的介纳观力学模型，具体为：

依据应变梯度理论，应变张量ε_ij、应变梯度张量ε_ij,k、应力张量σ_ij、梯度应力张量τ_ij,k表达为：

其中，u为位移场，u_i,j为位移场对维度的梯度；

对于中心对称各相同性材料，其应变能密度w为：

四阶弹性张量C_ijkl和六阶应变梯度刚度张量D_ijklmn写作：

其中，δ为单位张量，c₁、c₂为拉梅系数，c₃、c₄、c₅、c₆、c₇是五个高阶材料常数；c₁、c₂和高阶材料常数c₃、c₄、c₅、c₆、c₇分别定义为：

其中，l_m为特征尺寸参数，E₀为杨氏模量，ν为泊松比；

忽略体力后，平衡方程为：

σ_ij,i＝0(7)；

所述的步骤3.1)建立等几何几何模型，具体为：

确定设计域，构建描述设计域几何信息的N_p个控制点P、节点矢量为0～1之间的非递减序列样条阶次p、与控制点对应的权重系数ω输入信息，形成B样条基函数和相应的NURBS基函数，根据式(9)将基函数与控制点结合生成样条曲线描述的设计域几何模型；

由递推方法求出B样条基函数，再将权重系数ω与之相乘得到一维NURBS基函数表达式R_a,p(ξ)：

其中n_p、m_p分别是等几何单元在ξ和η方向上控制点的数量；

使用两个维度的B样条基函数N_a,p(ξ)、N_b,p(ξ)和权重系数ω_a,b结合获得二维NURBS基函数将二维NURBS基函数与控制点坐标矩阵P结合生成曲线、面、体，如下式为NURBS曲面表达：

所述的步骤3.2)建立等几何分析模型，具体为：

利用相同的NURBS基函数离散几何模型，生成贴合设计域边界的等几何单元网格；经过h-细化，插入节点细化网格，将单元索引信息储存在[Ele]矩阵中，控制点信息储存在[P]矩阵中，对应生成单元与控制点关系矩阵，构建分析模型；

所述的步骤3.3)建立等几何求解工具，具体为：

3.3.1)构建单元刚度矩阵：

等几何分析中，单元在进行网格细化时涉及到了在物理空间Ω_e-参数空间母空间之间的等参映射，其两两映射关系为：

其中，J为变换雅可比矩阵；R是由N_p个基函数组成的向量；

将应变梯度理论本构方程引入单元刚度矩阵计算公式中，得到物理空间Ω_e内等几何单元刚度矩阵计算公式：

其中，B和分别为几何矩阵和高阶几何矩阵；

在母空间内计算NURBS基函数，遍历等几何单元，遍历单元高斯积分点P_G，计算NURBS基函数及其一阶、二阶导数，根据应变梯度理论装配几何矩阵B和高阶几何矩阵其中，几何矩阵和高阶几何矩阵根据位移u与应变ε_ij、二阶应变ε_ij,k关系得到，为NURBS基函数一阶、二阶求导关系；

采用高斯积分，计算单元刚度矩阵，并将其从母空间映射到物理空间：

其中，c，d是ξ和η方向上n_g，m_g个高斯点的序号，J₁，J₂是两次映射的Jacobian矩阵，A_c,d是高斯积分的权重系数；

3.3.2)装配总体刚度矩阵：

总体刚度矩阵K装配时应用到密度插值模型：

其中，E_e是插值后的单元刚度，E_min是为避免刚度矩阵奇异设定的微小量，ρ_e是当前单元密度，γ是防止产生棋盘格现象的惩罚因子，单元刚度矩阵应用插值模型后，按照自由度顺序装配总体刚度矩阵K；

3.3.3)结构响应求解：

将设计域用等几何单元进行离散后，根据控制方程求解结构响应位移场：

KU＝F                    (14)

其中，K为总体刚度矩阵，U是整体位移场，F是边界上的牵引力矢量；

3.3.4)敏度分析与过滤：

采用伴随法对目标函数、约束函数进行灵敏度分析，目标函数表达如下：

其中，n为等几何单元的数量，u_e为单元位移场向量；

对任意设计变量ρ求导，目标函数和约束函数的敏度计算公式如下：

对敏度采用距离过滤方式：

其中，φ为目标函数敏度或约束函数，α为防止分母为零的一个小正数，H_et为权重因子，Δ(e,t)为单元e与距离其中心小于过滤半径r_min单元t的距离函数；

所述的步骤4)优化与迭代，具体步骤如下：

将由步骤3)等几何分析计算得到的目标函数和约束函数值以及由伴随法求出的敏度值代入OC优化算法中，得到更新后的第k代设计变量场，并存储在矩阵[ρ^(k)]中；使用更新后的设计变量，代入步骤3)重新计算；执行上述迭代过程，当迭代次数达到上限loop或相邻两个迭代步骤中设计变量的最大变化值小于设定误差t_v，即停止迭代；

OC优化准则如下：

其中，h为每步更新的变化步长，θ为数值阻尼系数，λ为拉格朗日算子；

所述的步骤5)输出灰度图形并圆整处理，具体为：将设计变量密度矩阵输出为灰度图像，直观地得到优化结果；对设计出的结构构型进行光滑圆整处理，再根据加工工艺要求以及制造装配要求进一步修改以得到最终设计。