[其他]轴侧椭圆尺

说明书

本实用新型是用塑料制成的轴测椭圆尺，是属于绘制椭圆的绘图工具。

在国内通常绘制椭圆的办法有以下几种：第一种方法是已知椭圆的长、短轴，用四心法画近似椭圆；第二种方法是已知椭圆的共轭直径，求出对应线段的交点，即为椭圆上的点，再用曲线板光滑连接各点；用这两种方法画椭圆比较麻烦，不易掌握。第三种方法是利用椭圆模（孔）板画椭圆，作图虽然方便，但是，只能作椭圆模板上的几个椭圆，不能绘制各种椭圆；第四种方法是用椭圆规绘制椭圆，绘图方便，但制造复杂，价格昂贵。

本实用新型的目的就是要解决以上存在的问题，设计出一种成本低、易制造、使用方便、能绘制各种椭圆的绘图仪器。

本实用新型是利用对数螺线的一部分与椭圆的一部分相当近似，而用这一部分对数螺线来近似代替椭圆一部分。近似椭圆中心的运动轨迹也是一条对数螺线，由这两条对数螺线就可以作出椭圆。

图1，AB是椭圆曲线的边缘，用对数螺线方程r＝ce^aθ表示。CD是椭圆的中心轨迹线，是对数螺线的一条合同曲线其上标有数值的刻度与AB曲线上相同刻度的连OE是椭圆短径的定位线。A B曲线上所标数值是该椭圆的长径的长度。标有20°字样，表示用该曲线画出来的椭圆，其椭圆角（由短、长径之比的反正弦值定义）是20°。其原理证明如下：

如图2所示，曲线是用r＝ce^aθ表示的对数螺线，其中c、a是常数。r₁、r₂是该曲线上的两点。设∠r₁or₂为直角，n₁、n₂分别是r₁、r₂处的法线，并相交于点O′，n₁与or₂相交于P₁，n₂与or₂相交于P₂。要证明以O′为中心，以n₁＝O′r₁n₂＝O′r₂为半长径、半短径（或相反，由a的正负而定）作四分之一椭圆，则它与螺线的一部分相当近似。而用这一部分螺线来近似代替以n₁、n₂为其长、短半径的椭圆曲线。

证明：由螺线方程r＝ce^aθ其上任一点r处的座标表示为（Xr，Yr）

Xr＝rcosθ＝ce^aθcosθ

Yr＝rsinθ＝ce^aθsinθ

点r（Xr，Yr）处的斜率为：

Kr＝ (dy)/(dx) ＝tg（θ＋α）

r处的法线斜率为K_r′

K_r′＝－ 1/(K) ＝tg（θ＋α＋ (π)/2 ）

即法线与X轴的夹角是θ＋α＋ (π)/2

n₁、n₂分别是点r₁、r₂处的法线，故与X轴的夹角分别是：θ₁＋α＋ (π)/2 、θ₂＋α＋ (π)/2

两个夹角之差为：θ₂－θ₁是n₁、n₂的交角。

已知 θ₂－θ₁＝ (π)/2 即当∠r₁or₂＝ (π)/2 时有

∠r₁o′r₂＝ (π)/2

由图3可知 (n₁)/(n₂) ＝ (1－｜a｜k)/(k＋｜a｜)

即比值与θ₁无关，仅依存于a值。即橢圆角G＝arcsin (n₁)/(n₂) 是一定的。

设

R＝r₁｜a1=Mr₁(令M＝ ｜a ｜为一常数）

tgβ＝tg（θ₁－φ）（φ＝arccos

β＝θ₁－φ

R＝Mr₁＝Mce^aθ＝Mce^{a（β＋φ）}