[实用新型]费尔马大定理突破口

说明书

费尔马大定理突破口属于立体玩具。

1621年费尔马读了刁番都所著《算术学》写道：形如xⁿ＋yⁿ＝zⁿ的方程，当n＞2时没有正整数解，我当时想出了一个巧妙的证明，但由于书上的空白太窄了，写不下。三百多年来，许多人企图补写“巧妙的证明”都没有成功。该玩具是对费尔马大定理的突破，提出了勾股性质定理，原来它的推论正是费尔马大定理的命题。

玩具的构造：如附图所示：其正方体正面的正方形平面写有“马”字样，两条虚线与此形成两直角三角形，下方写有勾股性质定理的三个公式；上面的正方形平面有一背驮熊猫的马，下面的正方形平面中心有圆锥形底座；整个玩具中空式的结构。

玩具的玩法：甲乙轮流使底座带动该体旋转，谁能使其旋转的时间较长谁为优胜者，失利者要受罚而口答勾股性质定理的命题。

勾股性质定理：任何直角三角形，设勾为x，股为y，弦为z，正整数为n，长度方面，当n＝1时，xⁿ＋yⁿ＞zⁿ（两边之和大于第三边）；面积方面，当n＝2时，xⁿ＋yⁿ＝zⁿ（勾股定理）；体积方面，当n＞2时，xⁿ＋yⁿ＜zⁿ。欲知“xⁿ＋yⁿ＜zⁿ”的理由，请看下面对费尔马大定理的证明（力图与费尔马所称“巧妙的证明”相吻合）：

已知：x²＋y²＝z²（勾股定理），其中z＞x，z＞y（斜边大于直角边）。

求证：当正整数n＞2时，xⁿ＋yⁿ＝zⁿ没有正整数解。

证明：当n＞2时，假设xⁿ＋yⁿ＝zⁿ（1）

根据指数法则，对指数“稀释”来提高透明度和增强可比性，（1）式可写成

x²x^n－2＋y²y^n－2＝z²z^n－2（2）

已知x²＋y²＝z²，代入（2）式可写成

x²x^n－2＋y²y^n－2＝（x²＋y²）×z^n－2（3）

（3）式去括号可写成

x²x^n－2＋y²y^n－2＝x²z^n－2＋y²z^n－2（4）

已知z＞x，z＞y，因为同样指数的两个乘方数其底数较大者积数较大，所以

z^n－2＞x^n－2，z^n－2＞y^n－2，

又因为因数较大者积数较大，所以

x²z^n－2＞x²x^n－2（只有z＝x，才能x²z^n－2＝x²x^n－2），

y²z^n－2＞y²y^n－2（只有z＝y，才能y²z^n－2＝y²y^n－2），

如上所证，（4）式其实等号两边不相等，即该方程不成立，应当写成

x²x^n－2＋y²y^n－2＜x²z^n－2＋y²z^n－2（5）

（5）式的理由是“两个较小的数相加之和小于两个较大的数相加之和”。