[发明专利]一种基于负熵的非高斯线性随机系统滤波方法

摘要

一种基于负熵的非高斯线性随机系统滤波方法。首先，针对一般的线性随机系统，设计滤波器；其次，考虑到误差方程为一非高斯随机过程，指标函数选为估计误差的协方差阵与负熵的线性组合，使其尽可能完备的表征估计误差的概率统计特性；再次，利用特征函数的性质，求取估计误差的概率密度函数，从而获得估计误差的负熵表达式；最后，求解滤波器增益，极小化指标函数；本方法能估计受非高斯噪声影响的线性随机系统状态，可用于惯性导航、制导系统、目标跟踪、信号处理等领域。

主权项

一种基于负熵的非高斯线性随机系统滤波方法，其特征在于包括以下步骤：首先，针对一般的离散时间线性随机系统，设计滤波器；其次，指标函数选为估计误差的协方差函数与负熵的线性组合；再次，利用特征函数的性质，求取估计误差的概率密度函数；最后，求解滤波器增益，极小化指标函数；具体步骤如下：第一步，设计滤波器：针对一般的离散时间线性非高斯随机系统：x_k+1＝A_kx_k+G_kω_ky_k＝C_kx_k+υ_k构造如下形式的滤波器：${\hat{x}}_{k+1}=A_k{\hat{x}}_k+L_k(y_{k+1}-C_{k+1}{A}_k{\hat{x}}_k)$其中，x_k∈Rⁿ为系统状态，y_k∈R^m为量测输出；A_k∈R^n×n为已知的状态转移矩阵，G_k∈R^n×s为已知的干扰转移矩阵，C_k∈R^m×n为已知的输出矩阵；为系统状态x_k的估计值，L_k∈R^n×m为要确定的滤波器增益；ω_k∈R^s和υ_k∈R^m分别为零均值、有界、相互独立且概率密度函数已知的非高斯过程噪声和量测噪声，其概率密度函数分别为初始向量x₀与ω_k，υ_k相互独立，概率密度函数为α₁，β₁，α₂，β₂为已知的实数；R表示实数域；定义估计误差则误差方程满足：e_k+1＝(I‑L_kC_k+1)(A_ke_k‑G_kω_k)+L_kυ_k+1其中I为n×n维单位矩阵；第二步，指标函数选为：$V_{k+1}\left(L_k\right)=R_{1k}\∫{\mathrm{\γ}}_{e_{k+1}}(x,L_k)\log ({\mathrm{\γ}}_{e_{k+1}}(x,L_k)/{\mathrm{\γ}}_{k+1}(x,L_k))+R_{2k}{c}_{k+1}$其中，c_k+1表示估计误差e_k+1的协方差函数，和γ_k+1(x)分别表示估计误差e_k+1的概率密度函数以及与e_k+1具有相同协方差矩阵的高斯随机变量的概率密度函数；R_1k，R_2k为已知的权重矩阵；第三步，估计误差协方差阵和概率密度函数的求取：误差方程的协方差阵及特征函数分别满足如下两式：$c(k+1)=(I-L_k{C}_{k+1})A_{k}c\left(k\right)A_k^T{(I-L_k{C}_{k+1})}^T+(I-L_k{C}_{k+1})G_k{c}_{{\mathrm{\ω}}_k}{G}_k^T{(I-L_k{C}_{k+1})}^T+L_k{c}_{{\mathrm{\υ}}_k}{L}_k^T$其中，分别表示随机噪声ω_k，υ_k的协方差阵，分别表示随机噪声ω_k，υ_k的特征函数且表示估计误差的特征函数，t为时间变量，取值范围为(‑∞,∞)，∞代表无穷；由于特征函数与概率密度函数相互唯一确定，估计误差e_k+1的概率密度函数可通过如下的傅里叶逆变换求得：与估计误差e_k+1具有相同协方差阵的高斯随机变量的概率密度函数为：${\mathrm{\γ}}_{k+1}(x,L_k)=\frac{1}{\sqrt{{\left(2\mathrm{\π}\right)}^n\left|c_{k+1}\right|}}{e}^{-\frac{1}{2}{x}^T{c}_{k+1}^{-1}x}$第四步，求解滤波器增益：由于指标函数为非线性函数，一般情况下不可能通过求解得到L_k的解析表达式，因此这里滤波器增益通过如下梯度算法求得：L_k＝L_k‑1+λ_kd_k其中d_k是从L_k‑1出发的搜索方向，即λ_k是从L_k‑1出发的沿方向d_k进行的一维搜索的步长。