[发明专利]一种基于卡尔曼滤波的灰色模型热误差数据处理方法

摘要

本发明涉及一种基于卡尔曼滤波的灰色模型热误差数据处理方法。首先采用卡尔曼滤波对实验所测得的热误差数据进行滤波处理，然后建立灰色热误差模型，并根据滤波后的热误差数据利用灰色热误差模型进行预测。实验结果表明，与直接对热误差实验数据进行预测的现有方法相比，本发明所述方法获得的热误差预测值与实测值吻合得很好，可消除或减弱实验所获得的热误差数据中含有的系统及测量噪声等因素的影响，从而获得更加准确的热误差预测值，对精密卧式加工中心高速电主轴热误差建模和热误差补偿具有重要意义。

主权项

1.一种基于卡尔曼滤波的灰色模型热误差数据处理方法，其特征在于，首先对热误差测量值进行卡尔曼滤波，然后采取灰色热误差模型对滤波后的热误差数据做进一步处理，获得更加精确的热误差预测值；所述方法包括以下步骤：步骤一，对实验测量所获得的热误差数据进行卡尔曼滤波处理；（1）由热误差的差分方程和测量方程获得热误差测量值；热误差的差分方程和测量方程分别为：Ay(k)＝Bu(k)+w(k)z(k)＝Cy(k)+v(k)其中，A＝1+a₁x^-1+a₂x^-2+…+a_nx^-n，B＝1+b₁x^-1+b₂x^-2+…+b_nx^-n，a₁,a₂,…,a_n,b₁,b₂,…,b_n为系数，x为多项式中的未知标量元，n为多项式的次数，且为不小于1的正整数，y(k)是热误差估计值，u(k)是传感器带来的测量噪声，w(k)是系统噪声，z(k)是热误差测量值，C是与热误差估计值相对应的单元矩阵，v(k)是测量噪声，k＝1,2,…,N，表示数据元素的次序，N为k的最大值；将热误差测量值写成如下形式：φ＝[a₁,a₂,…,a_n,b₁,b₂,…,b_n]^T其中，为测量噪声序列，φ为参数矩阵；（2）利用最小二乘法估计误差测量方程中的参数；根据热误差数据z(k)及测量噪声序列构造热误差数据向量矩阵Z及含有测量噪声的向量矩阵Ψ分别为：Ζ＝[z(1),z(2),…,z(k)]^TΨ=-z(0),-z(-1),...,-z(1-n),u(0),u(1),...,u(1-n)-z(1),-z(0),...,-z(2-n),u(1),u(2),...,u(2-n)......-z(k-1),-z(k-2),...,-z(k-n),u(k-1),u(k-2),...,u(k-n)]]>其中，n＝1,2,…,N；利用最小二乘法估计求解参数矩阵φ的估计值：φ^=(ΨTΨ)-1ΨTZ]]>（3）求热误差测量值的卡尔曼滤波值；卡尔曼滤波的递推公式为：x^(k|k-1)=Ax^(k-1|k-1)+Bu(k)]]>P(k|k-1)＝AP(k-1)A^T+BQB^TK(k)＝P(k|k-1)C^T[CP(k|k-1)C^T+R]^-1x^(k|k)=x^(k|k-1)+K(k)[z(k)-Cx^(k|k-1)]]]>P(k)＝[I-K(k)C]P(k|k-1)其中，Q、R分别表示系统噪声和测量噪声的协方差即Q＝Var(w)，R＝Var(v)，表示状态一步预测估计值，表示状态预测估计值，P(k|k-1)表示预测的误差方差阵，K(k)为滤波增益；当测量噪声v(k)较小时，利用最小二乘算法求解热误差测量方程参数可以获得较理想的结果；随着测量噪声v(k)的增加，滤波效果将会变差；先滤掉热误差数据测量值z(k)中的噪声，然后再用于热误差数据处理，将会取得较好的效果；可通过均值法滤掉z(k)中的噪声，即用y(k)的估计值代替测量值z(k)，其中，E表示求数学期望，将y(k)的估计值代入差分方程和测量方程得：Ay(k)~=Bu(k)+Av(k)~+w(k)]]>其中，因此，热误差数据预测精度会得到提高；步骤二，建立灰色热误差模型，对滤波后的热误差数据作进一步处理，获得热误差的预测值；（1）求紧邻均值生成序列；设X⁽⁰⁾＝(x⁽⁰⁾(1),x⁽⁰⁾(2),…,x⁽⁰⁾(n))是一个卡尔曼滤波后热误差数据序列，X⁽¹⁾为X⁽⁰⁾的累加序列，X⁽¹⁾＝(x⁽¹⁾(1),x⁽¹⁾(2),…,x⁽¹⁾(n))，其中，令z(1)(k)=12(x(1)(k)+x(1)(k-1)),k=2,3,...,n,]]>则紧邻均值生成序列为：z⁽¹⁾＝(z⁽¹⁾(2),z⁽¹⁾(3),…,z⁽¹⁾(k))（2）建立灰色热误差模型，由模型求热误差预测值；灰色热误差模型的微分方程为：dx(1)dt+ax(1)=b]]>式中，a为发展系数，b为灰色作用量；假设为参数列，利用灰色模型方程x⁽⁰⁾(k)+az⁽¹⁾(k)＝b，通过最小二乘估计算法得到参数列a^=(BTB)-1BTY]]>其中，Y=x(0)(2)x(0)(3)···x(0)(n),B=-z(1)(2)1-z(1)(3)1······-z(1)(n)1]]>由灰色热误差模型的微分方程求得时间响应序列为：x^(1)(k+1)=(x(0)(1)-ba)e-ak+ba,k=1,2,...,n]]>通过时间响应序列作累减运算得到还原值：x^(0)(k+1)=x^(1)(k+1)-x^(1)(k)]]>从而得到灰色热误差模型的预测方程：x(0)(k+1)=(1-ea)(x(0)(1)-ba)e-ak=C1evk+C2,k=1,2,...,n]]>其中，C₁、C₂、v为待求参数；根据灰色热误差模型的预测方程就可得到热误差预测值。