[发明专利]一种小车倒立摆系统的有限时间解耦控制方法

摘要

小车倒立摆系统的有限时间解耦控制方法，包括建立四阶的小车倒立摆系统的动态模型，初始化系统状态、采样时间一集相关控制参数；将系统中的饱和函数近似为一个简单的时变系统，推导出带有饱和函数的系统模型；将小车倒立摆系统划分为两个二阶子系统，计算控制系统的跟踪误差、非奇异终端滑模面及其一阶导数；针对小车倒立摆系统，选择神经网络逼近未知函数，并根据系统跟踪误差、非奇异终端滑模面，设计神经网络有限时间解耦控制器，更新神经网络权值矩阵；本发明不仅能够避免饱和函数的影响，降低控制器的复杂程度，而且可以实现小车倒立摆系统在有限时间内的快速稳定。

主权项

小车倒立摆系统的有限时间解耦控制方法，包含以下步骤：步骤1，建立如式(1)所示四阶的小车倒立摆系统的动态模型，初始化系统状态、采样时间以及相关控制参数；x·1(t)=x2(t)x·2(t)=a1(x,t)+c1(x,t)v1(t)+d1(t)x·3(t)=x4(t)x·4(t)=a2(x,t)+c2(x,t)v2(t)+d2(t)---(1)]]>其中，x＝[x1,x2,x3,x4]T是状态向量；a1(x,t)，a2(x,t)≠0是未知非线性函数；c1(x,t)，c2(x,t)为以下非线性函数：c1(x,t)=cos(x1)L(43mt-mpcos2(x1))---(2)]]>c2(x,t)=43(43mt-mpcos2(x1));---(3)]]>d1(t)和d2(t)表示外部干扰，并且，|d1(t)|≤D1(t)，|d2(t)|≤D2(t)；v1(t)，v2(t)为饱和函数输出值，表示为：v(t)=sat(u)=sign(u)vmaxif|u(t)|≥vmaxuif|u(t)|<vmax---(4)]]>其中，u(t)∈R是实际控制信号；vmax为饱和函数宽度参数；步骤2，将系统中的饱和函数近似为一个简单的时变系统，推导出带有饱和函数的系统模型；2.1将饱和函数近似为一双曲正切函数，定义为：g(u)=vmax×tanh(u/vmax)=umax×eu/vmax-e-u/vmaxeu/vmax+e-u/vmax---(5)]]>然后，sat(u)被定义为：sat(u)＝g(u)+d(u)   (6)2.2根据微分中值定理，可得g(u)＝g(u0)+g′(u)×(u‑u0)   (7)其中，g′(u)为g(u)在u处的一阶导数；因此，当取u0＝0时g(u)＝g′(u)×u   (8)将式(8)代入式(6)得：v=g′(u)u+d(u)∀t≥0---(9)]]>2.3将简化后的饱和函数式(9)代入式(1)可得：x·1(t)=x2(t)x·2(t)=f1(x,t)+b1(x,t)u1(t)+d1(t)x·3(t)=x4(t)x·4(t)=f2(x,t)+b2(x,t)u2(t)+d2(t)---(10)]]>其中，x1(t)是摆杆角位移，x2(t)是摆杆角速度；x3(t)是小车位移，x4(t)是小车速度；x＝[x1,x2,x3,x4]T为输入向量；f1(x,t)＝a1(x,t)+c1(x,t)d(u)和f2(x,t)＝a2(x,t)+c2(x,t)d(u)是未知非线性函数；b1(x,t)＝c1(x,t)×g'(u1)，b2(x,t)＝c2(x,t)×g'(u2)；步骤3，将式(10)表示的小车倒立摆系统划分为两个二阶子系统，计算控制系统的跟踪误差、非奇异终端滑模面及其一阶导数；3.1将式(10)表示的小车倒立摆系统划分为两个二阶子系统subsystem1:x·1(t)=x2(t)x·2(t)=f1(x,t)+b1(x,t)u1(t)+d1(t)---(11)]]>subsystem2:x·3(t)=x4(t)x·4(t)=f2(x,t)+b2(x,t)u2(t)+d2(t)---(12)]]>3.2定义如式(13)和(14)所示非线性滑模面：S1=λ1|x1-z|γ1sign(x1-z)+x2---(13)]]>S2=λ2|x3|γ2sign(x3)+x4---(14)]]>其中，λ1和λ2是正常数；z是一个中间变量定义为z＝sat(S2/φz)zu，0＜zu＜1，φz是S2的界；p1，q1，p2和q2是正奇数满足p1＞q1和p2＞q2；因为(x1‑z)＜0和x3＜0，分数γ1和γ2使得和因此，不会产生奇异值问题；3.3对式(13)进行微分，可得S·1=γ1λ1|x1-z|γ1-1(x·1-z·)+x·2---(15)]]>为使系统在有限时间内趋于稳定，需要满足以下条件S·1=-k1S1-k2|S1|ρsign(S1)---(16)]]>其中，0＜ρ＜1,k1＞0并且k2＞0；根据有限时间稳定性定理可得，平衡点为x1＝z并且x3＝0；步骤4，针对式(10)表示的小车倒立摆系统，选择神经网络逼近未知函数，并根据系统跟踪误差、非奇异终端滑模面，设计神经网络有限时间解耦控制器，更新神经网络权值矩阵；4.1将和式(16)代入式(15)，解得控制信号u1(t)的表达式为u1(t)=-1b(x,t)[f1(x,t)+d1(t)+γ1λ1|x1-z|γ1-1(x·1-z·)+k1S1+k2|S1|ρsign(S1)]---(17)]]>4.2设计神经网络逼近未知函数则有f1(x,t)+d1(t)b(x,t)=WTφ(X)+ϵ---(18)]]>其中，其中W为理想权重，φ(X)为神经网络基函数，X为神经网络输入向量，ε表示神经网络逼近误差；φ(x)取为以下函数：φ(X)=ab+exp(-Xc)+d---(19)]]>其中，a，b，c和d均为正常数；将式(18)和式(19)代入式(17)，可得其中，为理想权重W的估计值，为自适应控制参数，δ为正常数；其中，εN为一个正常数，表示神经网络逼近误差的上限；4.3设计u2(t)＝u1(t)，则式(10)可转化为x·1(t)=x2(t)x·2(t)=f1(x,t)+b1(x,t)u1(t)+d1(t)x·3(t)=x4(t)x·4(t)=f2(x,t)+b2(x,t)u1(t)+d2(t)---(21)]]>此时，摆杆与小车之间已解耦；4.4设计神经网络权重和自适应控制参数的更新律为：W^·=KCφ(X)S1T---(22)]]>其中，KC一个正常数；μ^·=vμS1tanh(S1/δ)---(23)]]>其中，vμ一个正常数；步骤5，设计李雅普诺夫函数其中，M为一正定对称矩阵，则可以证明S1趋向于零，即x1趋向于z；同时，式(13)中，z是一个有界衰减函数，根据以上设计可得，当S2＝0时，z＝0，x3＝0；因此，可以证明闭环控制系统的稳定性。