[发明专利]一种基于不确定模型的LMIs状态反馈系统控制方法

摘要

本发明公开了一种基于不确定模型的LMIs状态反馈系统控制方法，首先通过建立包含不确定参数的被控对象模型，然后引入系统状态反馈控制器，通过对闭环系统构造函数，在满足Lyapunov定理的基础上设计非线性系统控制律。该控制方法考虑了具一定程度不确定性系统所面临的控制问题，包括因建模误差、模型参数变动以及系统噪声等问题造成的影响，所涉及的控制方法对系统的不确定因素有着良好的适应能力，本发明方法与一般的常规方法相比响应速度更快，稳定性和鲁棒性也得到了较大的提高。

主权项

一种基于不确定模型的LMIs状态反馈系统控制方法，其特征在于：该控制方法是针对控制对象的不确定性，借助线性矩阵不等式群LMIs设计状态反馈控制器，以使闭环系统渐近稳定，其包括以下步骤：1)建立包含参数不确定性的被控对象模型$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(t\right)=(A+\mathrm{\&Delta;A})x\left(t\right)+(B_1+\mathrm{\&Delta;}{B}_1)q_e\left(t\right)+B_2{q}_v\left(t\right)\\ z\left(t\right)=C_{1}x\left(t\right)+D_{1}w\left(t\right)+D_{2}u\left(t\right)\\ y\left(t\right)=C_{2}x\left(t\right)\end{array}\right.---\left(1\right)$其中，x(t)＝[x₁(t) x₂(t) ... x_n(t)]^T为n维状态变量，q_e(t)为控制输入，q_v(t)为扰动量，y(t)为控制对象，z为控制输出，w为扰动输入，A、B₁、B₂、C为系统矩阵；同时，系统的不确定参数形式为：ΔA(t)＝H₁F(t)E₁ΔB₁(t)＝H₂F(t)E₂其中，F(t)∈R^α×β是一个未知函数矩阵，称为不确定参数矩阵，满足F^T(t)F(t)≤I，H₁、H₂、E₁、E₂是具有所需维数的常数矩阵；2)引入控制系统状态反馈控制器u(t)＝K_fx(t)                  (2)3)引入定理对闭环系统，存在一个形如u(t)＝K_fx(t)的状态反馈H_∞控制器使得闭环控制系统渐近稳定的充要条件是，存在正定对称矩阵X和矩阵Y，标量ε₁>0，ε₂>0，以及H_∞性能指标γ，使得矩阵不等式：成立，若不等式存在可行解正定矩阵X和矩阵Y，则状态反馈H∞控制器增益为：K_f＝YX^‑1如果满足该定理，则所设计的状态反馈控制器可为：u(t)＝YX^‑1x(t)4)引入引理对于所需维数的常数矩阵H和E及对称矩阵S，如果对于所有的F满足F^T(t)F(t)≤I，矩阵不等式S+HFE+E^TF^TH^T<0成立的条件为：当且仅当存在一个标量ε>0，满足S+εHH^T+ε^‑1E^TE<0；5)对闭环系统构造Lyapunov函数V(x(t))＝x^T(t)Px(t)其中，P为正定对称矩阵，则V(x(t))是正定的，沿闭环系统的轨迹对t求导，化简后得到：$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{V}\left(x\left(t\right)\right)=x^T\left(t\right)(A^{T}P+\mathrm{\&Delta;}{A}^{T}P+{K_f}^T{B_1}^{T}P+{K_f}^T\mathrm{\&Delta;}{B_1}^{T}P+\mathrm{PA}+\mathrm{P\&Delta;A}+{\mathrm{PB}}_1{K}_f+\mathrm{P\&Delta;}{B}_1{K}_f)x\left(t\right)\\ +w^T\left(t\right){B_2}^T\mathrm{Px}\left(t\right)+x^T\left(t\right){\mathrm{PB}}_{2}w\left(t\right)\end{array}$上式两边加上γ2wT(t)w(t)‑zT(t)z(t)，转化后得到：$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{V}\left(x\left(t\right)\right)=\left[\begin{array}{cc}{x}^T\left(t\right)& w^T\left(t\right)\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{A}^{T}P+\mathrm{\&Delta;}{A}^{T}P+{K_f}^T{B_1}^{T}P+{K_f}^T\mathrm{\&Delta;}{B_1}^{T}P& \\ +\mathrm{PA}+\mathrm{P\&Delta;A}+{\mathrm{PB}}_1{K}_f+\mathrm{P\&Delta;}{B}_1{K}_f& {\mathrm{PB}}_2\\ +{(C_1+D_1{K}_f)}^T(C_1+D_1{K}_f)& \\ {B_2}^{T}P& -{\mathrm{\&gamma;}}^{2}I\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\left(t\right)\\ w\left(t\right)\end{array}\right]\\ +{\mathrm{\&gamma;}}^2{w}^T\left(t\right)w\left(t\right)-z^T\left(t\right)z\left(t\right)\end{array}$其中，γ为正实数；6)定义对称矩阵X＝P^‑1以及矩阵Y＝K_fX，同时应用schur补引理可得：同时由系统不确定参数的定义，结合schur补引理和引理，上式(3)可以化成：故若存在正定对称矩阵X和矩阵Y，标量ε₁>0，ε₂>0，使得以下矩阵不等式：成立，则闭环控制系统渐近稳定，由式(3)可以得到：∫_o^tz^T(t)z(t)dt≤γ²∫₀^tw^T(t)w(t)dt同时由Y的定义，可得控制器增益K_f＝YX^‑1；至此，对包含参数不确定性的被控对象模型(1)，利用线性矩阵不等式群LMIs方法，设计状态反馈控制器如式(2)，使得闭环系统渐近稳定。