[发明专利]威布尔分布下极大期望值算法非线性方程组的求解方法

摘要

本发明涉公开了一种威布尔分布下极大期望值算法非线性方程组的求解方法，其步骤为：(1)推导威布尔分布下极大期望值算法非线性方程组；(2)将非线性方程进行变形，形成F与的函数关式；(3)通过现场数据的特征找出F随的实际变化规律，确定的取值范围；(4)在的范围内定向改变形状参数，将其反向迭代入F函数。同时，通过不断提高精度，迅速求出符合精度要求的形状参数值；如果F大于0，则继续增大如果F小于0，需要增加每次递增的精度，直到找到满足一定精度的零点。本发明的求解方法，能够快速准确求得EM算法中下参数估计的结果；相比传统的牛顿迭代法，计算机运行速度提高十倍左右。

主权项

一种威布尔分布下极大期望值算法非线性方程组的求解方法，其特征在于：所述求解方法步骤是：(1)：推导威布尔分布下极大期望值算法非线性方程组；设概率密度函数f(t)，威布尔分布的密度函数为：$f\left(t\right)=\left\{\begin{array}{cc}{\mathrm{\λ\γt}}^{\mathrm{\γ}-}{e}^{-{\mathrm{\λt}}^{\mathrm{\γ}-1}}& t\≥0\\ 0& t\≤0\end{array}\right.---\left(15\right)$其中：λ为尺度参数，γ为形状参数，且λ＞0,γ＞0；假设对真实数据Y＝(y₁,…,y_k,y_k+1,…,y_n)作观测，得到的只是Y的函数Z＝(z₁,…,z_k,z_k+1⁺,…,z_n⁺)，其中z_k⁺₊₁,....z_n⁺表示数据有删失；Y与Z有如下关系：y_j＝z_j j＝1,…,k   (16)y_j≥z_j j＝k+1,…,n记λ⁽ⁱ⁾，γ⁽ⁱ⁾为第i+1次迭代开始时分布参数的估计值，则第i+1次迭代的两步如下：E步：$Q\left(\mathrm{\θ}\right|{\mathrm{\θ}}^{\left(i\right)})=n\ln \mathrm{\λ}+n\ln \mathrm{\γ}+(\mathrm{\γ}-1)\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}E\left(\ln y_i\right|Z,{\mathrm{\λ}}^{\left(i\right)},{\mathrm{\γ}}^{\left(i\right)})-\mathrm{\λ}\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}E\left({y_j}^{\mathrm{\γ}}\right|Z,{\mathrm{\λ}}^{\left(i\right)},{\mathrm{\γ}}^{\left(i\right)})---\left(17\right)$M步：$\left\{\begin{array}{c}\frac{\∂Q}{\∂\mathrm{\λ}}=\frac{n}{\mathrm{\λ}}-\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}E\left({y_j}^{\mathrm{\γ}}\right|Z,{\mathrm{\λ}}^{\left(i\right)},{\mathrm{\γ}}^{\left(i\right)})=0\\ \frac{\∂Q}{\∂\mathrm{\γ}}=\frac{n}{\mathrm{\γ}}+\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}E\left({\ln y}_j\right|Z,{\mathrm{\λ}}^{\left(i\right)},{\mathrm{\γ}}^{\left(i\right)})-\mathrm{\λ}\frac{\∂}{\∂\mathrm{\γ}}\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}E\left({y_j}^{\mathrm{\γ}}\right|Z,{\mathrm{\λ}}^{\left(i\right)},{\mathrm{\γ}}^{\left(i\right)})=0\end{array}\right.$方程组(18)的解是第i+1次迭代得到的参数估计值；由于：$\begin{array}{c}\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}E\left({y_j}^{\mathrm{\γ}}\right|Z,{\mathrm{\λ}}^{\left(i\right)},{\mathrm{\γ}}^{\left(i\right)})=\underset{j=1}{\overset{k}{\mathrm{\Σ}}}{z}_j^{\mathrm{\γ}}+\underset{j=k+1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{\∫}_{z_j}^{+\∞}{y_j}^{\mathrm{\γ}}{y_j}^{{\mathrm{\γ}}^{\left(i\right)}-1}\exp \left({\mathrm{\λ}}^{\left(i\right)}{y_j}^{{\mathrm{\γ}}^{\left(i\right)}}\right){\mathrm{dy}}_j}{{\∫}_{z_j}^{+\∞}{y_j}^{{\mathrm{\γ}}^{\left(i\right)}-1}\exp \left({-\mathrm{\λ}}^{\left(i\right)}{y_j}^{{\mathrm{\γ}}^{\left(i\right)}}\right){\mathrm{dy}}_j}\\ =\underset{j=1}{\overset{k}{\mathrm{\Σ}}}{z}_j^{\mathrm{\γ}}+\underset{j=k+1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{\mathrm{\λ}}^{\left(i\right)}{\mathrm{\γ}}^{\left(i\right)}{\∫}_{z_j}^{+\∞}{y_j}^{\mathrm{\γ}}{y_j}^{{\mathrm{\γ}}^{\left(i\right)}-1}\exp \left({\mathrm{\λ}}^{\left(i\right)}{y_j}^{{\mathrm{\γ}}^{\left(i\right)}}\right)}{\exp \left({-\mathrm{\λ}}^{\left(i\right)}{y_j}^{{\mathrm{\γ}}^{\left(i\right)}}\right)}\end{array}---\left(19\right)$$\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}E\left(\ln y_j\right|Z,{\mathrm{\λ}}^{\left(i\right)},{\mathrm{\γ}}^{\left(i\right)})=\underset{j=1}{\overset{k}{\mathrm{\Σ}}}\ln z_j+\underset{j=k+1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{\mathrm{\λ}}^{\left(i\right)}{\mathrm{\γ}}^{\left(i\right)}{\∫}_{z_j}^{+\∞}\ln {\mathrm{yy}}^{{\mathrm{\γ}}^{\left(i\right)}-1}\exp \left({-\mathrm{\λ}}^{\left(i\right)}{y_j}^{{\mathrm{\γ}}^{\left(i\right)}}\right)\mathrm{dy}}{\exp \left({-\mathrm{\λ}}^{\left(i\right)}{z_j}^{{\mathrm{\γ}}^{\left(i\right)}}\right)}---\left(20\right)$$\frac{\∂}{\∂\mathrm{\γ}}\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}E\left({y_j}^{\mathrm{\γ}}\right|Z,{\mathrm{\λ}}^{\left(i\right)},{\mathrm{\γ}}^{\left(i\right)})=\underset{j=1}{\overset{k}{\mathrm{\Σ}}}{z_j}^{\mathrm{\γ}}{\ln z}_j+\underset{j=k+1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{\mathrm{\λ}}^{\left(i\right)}{\mathrm{\γ}}^{\left(i\right)}{\∫}_{z_j}^{+\∞}\ln {\mathrm{yy}}^{{\mathrm{\γ}}^{\left(i\right)}-1}\exp \left({-\mathrm{\λ}}^{\left(i\right)}{y_j}^{{\mathrm{\γ}}^{\left(i\right)}}\right)\mathrm{dy}}{\exp \left({-\mathrm{\λ}}^{\left(i\right)}{z_j}^{{\mathrm{\γ}}^{\left(i\right)}}\right)}---\left(21\right)$将上面的式子代入(18)式，有$\left\{\begin{array}{c}\frac{n}{{\mathrm{\λ}}^{(i+1)}}\underset{j=1}{\overset{k}{\mathrm{\Σ}}}{z}_j^{(i+1)}+\underset{j=k+1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{\mathrm{\λ}}^{\left(i\right)}{\mathrm{\γ}}^{\left(i\right)}{\∫}_{z_j}^{+\∞}{y}^{{\mathrm{\γ}}^{(i+1)}}\exp \left({-\mathrm{\λ}}^{\left(i\right)}{y}^{{\mathrm{\γ}}^{\left(i\right)}}\right)\mathrm{dy}}{\exp \left({-\mathrm{\λ}}^{\left(i\right)}{z_j}^{{\mathrm{\γ}}^{\left(i\right)}}\right)}\\ \frac{n}{{\mathrm{\γ}}^{(i+1)}}=\underset{j=1}{\overset{k}{\mathrm{\Σ}}}\ln z_j\left({\mathrm{\λ}}^{(i+1)}{z_j}^{{\mathrm{\γ}}^{(i+1)}-1}\right)+\underset{j=k+1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{\mathrm{\λ}}^{\left(i\right)}{\mathrm{\γ}}^{\left(i\right)}{\∫}_{z_j}^{+\∞}\ln y({\mathrm{\λ}}^{(i+1)}{y}^{{\mathrm{\γ}}^{(i+1)}}-1)y^{{\mathrm{\γ}}^{\left(i\right)}-1}\exp \left({-\mathrm{\λ}}^{\left(i\right)}{y}^{{\mathrm{\γ}}^{\left(i\right)}}\right)\mathrm{dy}}{\exp \left({-\mathrm{\λ}}^{\left(i\right)}{z_j}^{{\mathrm{\γ}}^{\left(i\right)}}\right)}\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{c}\frac{n}{\mathrm{\λ}}=\underset{j=1}{\overset{k}{\mathrm{\Σ}}}{z_j}^{\mathrm{\γ}}+\underset{j=k+1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{\∫}_{z_j}^{+\∞}\mathrm{\λ\γ}{y}^{2\mathrm{\γ}-1}\exp \left({-\mathrm{\λy}}^{\mathrm{\γ}}\right)\mathrm{dy}}{\exp \left({{-\mathrm{\λz}}_j}^{\mathrm{\γ}}\right)}\\ \frac{n}{\mathrm{\γ}}=\underset{j=1}{\overset{k}{\mathrm{\Σ}}}\ln z_j({{\mathrm{\λ}}_j}^{\mathrm{\γ}}-1)+\underset{j=k+1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{\∫}_{z_j}^{+\∞}\mathrm{\λ\γ}\ln y({\mathrm{\λ\γ}}^{\mathrm{\γ}}-1)y^{\mathrm{\γ}-1}\exp \left({-\mathrm{\λy}}^{\mathrm{\γ}}\right)\mathrm{dy}}{\exp \left({{-\mathrm{\λz}}_j}^{\mathrm{\γ}}\right)}\end{array}\right.---\left(22\right)$注意到${\mathrm{\λ\γy}}^{2\mathrm{\γ}-1}\exp (-\mathrm{\λ}{y}^{\mathrm{\γ}})\mathrm{dy}=-(y^{\mathrm{\γ}}+\frac{1}{\mathrm{\λ}})\exp \left({-\mathrm{\λy}}^{\mathrm{\γ}}\right)+C---\left(23\right)$$\∫\mathrm{\λ\γ}\ln y({\mathrm{\λy}}^{\mathrm{\γ}}-1)y^{\mathrm{\γ}-1}\exp \left({-\mathrm{\λy}}^{\mathrm{\γ}}\right)\mathrm{dy}=-({\mathrm{\λy}}^{\mathrm{\γ}}\ln y+\frac{1}{\mathrm{\γ}})\exp \left({-\mathrm{\λy}}^{\mathrm{\γ}}\right)+C---\left(24\right)$则(24)式可以化为$\left\{\begin{array}{c}\frac{k}{\mathrm{\λ}}=\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{z}_j^{\mathrm{\γ}}\\ \frac{k}{\mathrm{\γ}}=\mathrm{\λ}\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{z}_j^{\mathrm{\γ}}{\ln z}_j-\underset{j=1}{\overset{k}{\mathrm{\Σ}}}{\ln z}_j\end{array}\right.---\left(25\right)$(2)：将非线性方程进行变形，形成F与的函数关系式；将式(25)变形为$F=k\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{z}_j^{\widehat{\mathrm{\γ}}}-k\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{z}_j^{\widehat{\mathrm{\γ}}}\ln z_j^{\widehat{\mathrm{\γ}}}+\left(\underset{j=1}{\overset{k}{\mathrm{\Σ}}}\ln z_j^{\widehat{\mathrm{\γ}}}\right)\left(\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{z}_j^{\widehat{\mathrm{\γ}}}\right)---\left(26\right)$形成F与的函数关系式；(3)：通过现场数据的特征找出F随的实际变化规律，确定的取值范围；对于上述非线性方程组公式，可将其转化为$F=k\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{z}_j^{\widehat{\mathrm{\γ}}}-k\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{z}_j^{\widehat{\mathrm{\γ}}}\ln z_j^{\widehat{\mathrm{\γ}}}+\left(\underset{j=1}{\overset{k}{\mathrm{\Σ}}}\ln z_j^{\widehat{\mathrm{\γ}}}\right)\left(\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{z}_j^{\widehat{\mathrm{\γ}}}\right)---\left(14\right)$利用大量实际工程中真实的删失寿命数据，总结出F与的关系；(4)：在的范围内定向改变形状参数，将其反向迭代入F函数。同时，通过不断提高精度，迅速求出符合精度要求的形状参数值；如果F大于0，则继续增大如果F小于0，需要增加每次递增的精度，直到找到满足一定精度的零点。