[发明专利]适用于位置伺服的分数周期重复控制器

摘要

一种适用于位置伺服的分数周期重复控制器，构造基于正弦切换的无抖振吸引律，进一步引入重复控制对于周期信号的跟踪和周期干扰的抑制思想，根据扰动信号在时域上的分数周期对称特性，设计基于正弦切换吸引律的分数周期重复控制方法，寻求控制序列使得输出经过有限控制步后能准确跟踪周期性参考输入。本发明有效抑制位置伺服系统中与参考位置信号同频率的周期性扰动、动态品质良好。

主权项

一种适用于位置伺服的分数周期重复控制器，其特征在于：给定具有分数周期对称性的位置参考信号r_k，其一周期的信号波形满足$r_k=\±r_{k-\frac{QN}{P}}---\left(1\right)$其中P、Q均为整数且P＞Q，N为信号一周期内取样点数，式(1)表明当前信号值取决于Q/P周期前的值，满足这一特点的信号称为具有Q/P周期对称特性，式(1)中的运算符±由k时刻在每周期中的位置决定；令$\tilde{k}=\mathrm{mod}(k,N),$则$r_k=\left\{\begin{array}{cc}{r}_{k-\frac{QN}{P}},& \tilde{k}\∈\[\frac{P-1}{P}N,N)\\ -r_{k-\frac{QN}{P}},& \tilde{k}\∉\[\frac{P-1}{P}N,N)\end{array}\right.---\left(2\right)$为使系统输出位置在有限时间逼近到参考信号的邻域δ内，构造一种离散时间正弦切换吸引律：$e_{k+1}=\left\{\begin{array}{cc}(1-\mathrm{\ρ})e_k-\mathrm{\ϵ}\mathrm{sgn}\left(e_k\right),& \left|e_k\right|\>\mathrm{\δ}\\ (1-\mathrm{\ρ})e_k-\mathrm{\ϵ}\sin \left(\mathrm{\ω}\right(\·\left)\frac{e_k}{\mathrm{\δ}}\right),& \left|e_k\right|\≤\mathrm{\δ}\end{array}\right.---\left(3\right)$式中sgn(·)为符号函数，e_k＝r_k‑y_k为跟踪误差，切换边界参数δ＞0，(1－ρ)e_k为指数吸引项，满足0＜ρ＜1，切换步长参数ε＞0；当满足|e_k|≤δ时，按正弦规律提供可变切换步长，在δ固定的情况下，切换步长变化率取决于ω(·)；分别按照误差单调递减和绝对值递减两种情形下的切换步长变化率ω(·)的取值条件；第一种情形：误差单调递减的参数条件1.1)当|e_k|＞δ时，根据吸引律表达式(3)和单调递减定义有0＜((1‑ρ)e_k sgn(e_k)‑ε)＜e_k sgn(e_k)   (4)解得$\left|e_k\right|\>\frac{\mathrm{\ϵ}}{1-\mathrm{\ρ}}---\left(5\right)$所以当满足时，跟踪误差单调收敛；1.2)当0＜e_k≤δ时，根据吸引律表达式(3)和单调递减定义有$0\<\left(\right(1-\mathrm{\ρ})e_k-\mathrm{\ϵ}\sin (\mathrm{\ω}(\·)\frac{e_k}{\mathrm{\δ}})\<e_k---\left(6\right)$上式(6)要求$(1-\mathrm{\ρ})e_k\>\mathrm{\ϵ}\sin \left(\mathrm{\ω}\right(\·\left)\frac{e_k}{\mathrm{\δ}}\right);$$e_k\→0\⇒\left\{\begin{array}{c}(1-\mathrm{\ρ})e_k\→0\\ \mathrm{\ϵ}sin\left(\mathrm{\ω}\right(\·\left)\frac{e_k}{\mathrm{\δ}}\right)\→0\end{array}\right.---\left(7\right)$令f₁＝(1‑ρ)e_k，则对e_k求导得$\left\{\begin{array}{c}{f}_1^{\′}=\frac{{\mathrm{df}}_1}{{\mathrm{de}}_k}=1-\mathrm{\ρ}\\ f_2^{\′}=\frac{{\mathrm{df}}_2}{{\mathrm{de}}_k}=\frac{\mathrm{\ϵ}\mathrm{\ω}(\·)}{\mathrm{\δ}}cos\left(\mathrm{\ω}\right(\·\left)\frac{e_k}{\mathrm{\δ}}\right)\end{array}\right.---\left(8\right)$由式(8)可知当e_k＞0时，若能保证f₁的增长率，即斜率f₁'大于f₂的斜率f′₂，那么满足$(1-\mathrm{\ρ})e_k\>\mathrm{\ϵ}sin\left(\mathrm{\ω}\right(\·\left)\frac{e_k}{\mathrm{\δ}}\right),$即要求$1-\mathrm{\ρ}\≥\frac{\mathrm{\ϵ}\mathrm{\ω}(\·)}{\mathrm{\δ}},$也即$\mathrm{\ω}(\·)\≤\frac{(1-\mathrm{\ρ})\mathrm{\δ}}{\mathrm{\ϵ}};$1.3)当‑δ≤e_k＜0时，根据单调递减定义有$e_k\<\left(\right(1-\mathrm{\ρ})e_k-\mathrm{\ϵ}\sin (\mathrm{\ω}(\·)\frac{e_k}{\mathrm{\δ}}\left)\right)\<0---\left(9\right)$上式要求$(1-\mathrm{\ρ})e_k\<\mathrm{\ϵ}sin\left(\mathrm{\ω}\right(\·\left)\frac{e_k}{\mathrm{\δ}}\right),$必须满足$1-\mathrm{\ρ}\≥\frac{\mathrm{\ϵ}\mathrm{\ω}(\·)}{\mathrm{\δ}},$即$\mathrm{\ω}(\·)\≤\frac{(1-\mathrm{\ρ})\mathrm{\δ}}{\mathrm{\ϵ}};$第二种情形：误差绝对值递减的参数条件2.1)当|e_k|＞δ时，根据吸引律表达式(3)和绝对值递减定义有‑e_k sgn(e_k)＜((1‑ρ)e_k sgn(e_k)‑ε)＜e_k sgn(e_k)   (10)解得$\left|e_k\right|\>\frac{\mathrm{\ϵ}}{2-\mathrm{\ρ}}---\left(11\right)$所以当满足时，跟踪误差绝对值递减；2.2)当0＜e_k≤δ时，根据吸引律表达式(3)和绝对值递减定义有$-e_k\<\left(\right(1-\mathrm{\ρ})e_k-\mathrm{\ϵ}\sin (\mathrm{\ω}(\·)\frac{e_k}{\mathrm{\δ}}\left)\right)\<e_k---\left(12\right)$由上式得$(2-\mathrm{\ρ})e_k\>\mathrm{\ϵ}sin\left(\mathrm{\ω}\right(\·\left)\frac{e_k}{\mathrm{\δ}}\right),$因为$e_k\→0\⇒\left\{\begin{array}{c}(2-\mathrm{\ρ})e_k\→0\\ \mathrm{\ϵ}sin\left(\mathrm{\ω}\right(\·\left)\frac{e_k}{\mathrm{\δ}}\right)\→0\end{array}\right.---\left(13\right)$令f₃＝(2‑ρ)e_k，$f_2=\mathrm{\ϵ}sin\left(\mathrm{\ω}\right(\·\left)\frac{e_k}{\mathrm{\δ}}\right)$则$\left\{\begin{array}{c}{f}_3^{\′}=\frac{{\mathrm{df}}_1}{{\mathrm{de}}_k}=2-\mathrm{\ρ}\\ f_2^{\′}=\frac{{\mathrm{df}}_2}{{\mathrm{de}}_k}=\frac{\mathrm{\ϵ}\mathrm{\ω}(\·)}{\mathrm{\δ}}cos\left(\mathrm{\ω}\right(\·\left)\frac{e_k}{\mathrm{\δ}}\right)\end{array}\right.---\left(\mathrm{14}\right)$由式(14)可知当e_k＞0时，若能保证f₃的增长率即斜率f′₃大于f₂的斜率f′₂，那么满足$(2-\mathrm{\ρ})e_k\>\mathrm{\ϵ}sin\left(\mathrm{\ω}\right(\·\left)\frac{e_k}{\mathrm{\δ}}\right),$即要求$2-\mathrm{\ρ}\≥\frac{\mathrm{\ϵ}\mathrm{\ω}(\·)}{\mathrm{\δ}},$也即$\mathrm{\ω}(\·)\≤\frac{(2-\mathrm{\ρ})\mathrm{\δ}}{\mathrm{\ϵ}};$2.3)当‑δ≤e_k＜0时，根据吸引律表达式(3)和绝对递减定义有$e_k\<\left(\right(1-\mathrm{\ρ})e_k-\mathrm{\ϵ}\sin (\mathrm{\ω}(\·)\frac{e_k}{\mathrm{\δ}}\left)\right)\<-e_k---\left(15\right)$由上式得$(2-\mathrm{\ρ})e_k\<\mathrm{\ϵ}sin\left(\mathrm{\ω}\right(\·\left)\frac{e_k}{\mathrm{\δ}}\right),$要求$2-\mathrm{\ρ}\≥\frac{\mathrm{\ϵ}\mathrm{\ω}(\·)}{\mathrm{\δ}},$即$\mathrm{\ω}(\·)\≤\frac{(2-\mathrm{\ρ})\mathrm{\δ}}{\mathrm{\ϵ}};$吸引律(3)保证跟踪误差绝对值递减的参数条件为且进一步保证跟踪误差单调递减的参数条件为$\mathrm{\δ}\≥\frac{\mathrm{\ϵ}}{1-\mathrm{\ρ}}$且$\mathrm{\ω}(\·)\≤\min \{\frac{(1-\mathrm{\ρ})\mathrm{\δ}}{\mathrm{\ϵ}},\frac{\mathrm{\π}}{2}\}.$