[发明专利]数字滤波器解析设计法及其滤波器

摘要

本发明涉及数字信号处理技术领域，为实现不引入迭代优化的措施情况下，自动消除全相位滤波器的过冲，最终生成全过程完全实现解析设计的高效率、高性能的FIR滤波器设计法，并给予数字信号处理器实现。本发明采用的技术方案是，数字滤波器解析设计法及其滤波器，步骤如下：Step 1.确定边界频率整数参数值；Step 2.得到一长度为2N-1的卷积窗w_c(n)；Step 3.将参数M、N和卷积窗w_c(n)直接代入如下解析式，获取滤波器系数g(n)；Step 4.计算Lichtenberg比率频点处的幅频响应；Step 5.将T＝1-(Q-1)＝2-Q代入如下改进的解析式中，算出最终的可消除过冲的滤波器。本发明主要应用于数字信号处理场合。

主权项

一种数字滤波器解析设计法及其滤波器,其特征是，指定一个满足传统奇对称H(k)＝H(N‑k),k＝0,...,N‑1的频率采样向量H＝[H(0),H(1),...,H(N‑1)]，设置为如下形式：直接对H进行IDFT得到$h\left(n\right)=\frac{1}{N}\underset{k=0}{\overset{N-1}{\Σ}}H\left(k\right)e^{j2\mathrm{\π}nk/N},n=0,...,N-1---\left(2\right)$采用如下定义域延拓的方法来构造子滤波器：把式(2)中n的IDFT定义域进行延拓，使得n∈[‑m,‑m+N‑1]，即$h\left(n\right)=\frac{1}{N}\underset{k=0}{\overset{N-1}{\Σ}}H\left(k\right)e^{j2\mathrm{\π}nk/N},n=-m,...,-m+N-1---\left(3\right)$这样获得N个子滤波器h_m＝[h(‑m),h(‑m+1),...,h(‑m+N‑1)],m＝0,...,N‑1，其傅立叶变换为$H_m\left(j\mathrm{\ω}\right)=\underset{n=-m}{\overset{-m+N-1}{\Σ}}h\left(n\right)e^{-jn\mathrm{\ω}},m=0,...,N-1---\left(4\right)$如果将这N个子滤波器做算数平均，那么得到合成后的频响G(jω)为$G\left(j\mathrm{\ω}\right)=\frac{1}{N}\underset{m=0}{\overset{N-1}{\Σ}}{H}_m\left(j\mathrm{\ω}\right),m=0,...,N-1---\left(5\right)$使用一个长度为N的常见的归一化对称窗{f(m),m＝0,...,N‑1}，将式(5)中对H_m(jω)的简单算术平均替换为加权平均，表示为$G\left(j\mathrm{\ω}\right)=\underset{m=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}f\left(m\right)H_m\left(j\mathrm{\ω}\right),m=0,...,N-1---\left(6\right)$将式(4)代入式(6)中，并且交换m和n的求和次序，得到$\begin{array}{c}G\left(j\mathrm{\ω}\right)=\underset{m=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}f\left(m\right)\underset{n=-m}{\overset{-m+N-1}{\mathrm{\Σ}}}h\left(n\right)e^{-jn\mathrm{\ω}}\\ =\underset{n=-N+1}{\overset{-1}{\mathrm{\Σ}}}h\left(n\right)e^{-jn\mathrm{\ω}}\underset{m=-n}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}f\left(m\right)+\underset{n=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}h\left(n\right)e^{-jn\mathrm{\ω}}\underset{m=0}{\overset{-n+N-1}{\mathrm{\Σ}}}f\left(m\right)\end{array}---\left(7\right)$为了简化上式，定义一个长度为2N‑1的卷积窗{w_c(n)}，由长度为N的对称窗{f(n)}和长度为N的反转矩形窗{R_N(‑n)}构成如下w_c(n)＝f(n)*R_N(‑n),n＝‑N+1,...,0,...,N‑1        (8)上式进一步表示为$w_c\left(n\right)=\underset{m}{\Σ}f\left(m\right)\·R_N(m-n)---\left(9\right)$因为{f(n)}和{R_N(‑n)}的非零元素都定义在区间[0,N‑1]中，所以m满足$\left\{\begin{array}{c}0\≤m\≤N-1\\ 0\≤m-n\≤N-1\end{array}\right.\⇒\left\{\begin{array}{c}0\≤m\≤N-1\\ n\≤m\≤n+N-1\end{array}\right.---\left(10\right)$因此对式(9)分为两种情况，进一步推导可得$w_c\left(n\right)=\left\{\begin{array}{cc}\underset{m=0}{\overset{n+N-1}{\Σ}}f\left(m\right)& -N+1\≤n\<0\\ \underset{m=n}{\overset{N-1}{\Σ}}f\left(m\right)& 0\≤n\≤N-1\end{array}\right.---\left(11\right)$相应的，w_c(‑n)表示为$w_c(-n)=\left\{\begin{array}{cc}\underset{m=-n}{\overset{N-1}{\Σ}}f\left(m\right),& -N+1\≤n\≤0\\ \underset{m=0}{\overset{-n+N-1}{\Σ}}f\left(m\right),& 0\<n\≤N-1\end{array}\right.---\left(12\right)$将式(12)代入式(7)，得G(jω)为$G\left(j\mathrm{\ω}\right)=\underset{n=-N+1}{\overset{N-1}{\Σ}}h\left(n\right)w_c(-n)e^{-jn\mathrm{\ω}}---\left(13\right)$由于f(n)是对称的，将f(m)＝f(N‑1‑m)代入式(12)得对比式(14)和式(12)可看出，w_c(n)也是对称的，因此式(13)进一步推导为$G\left(j\mathrm{\ω}\right)=\underset{n=-N+1}{\overset{N-1}{\Σ}}h\left(n\right)w_c\left(n\right)e^{-jn\mathrm{\ω}}---\left(15\right)$与式(6)相比，全相位滤波器传输特性G(jω)得到进一步精简表示，将式(2)代入式(15)得$\begin{array}{c}G\left(j\mathrm{\ω}\right)=\frac{1}{N}\underset{n=-N+1}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}\underset{k=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}H\left(k\right)e^{j2\mathrm{\π}nk/N}{w}_c\left(n\right)e^{-jn\mathrm{\ω}}\\ =\underset{k=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}H\left(k\right)\frac{1}{N}\underset{n=-N+1}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{w}_c\left(n\right)e^{-jn\left(\mathrm{\ω}-2\mathrm{\π}k/N\right)}\\ =\underset{k=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}H\left(k\right)W_c\[j\left(\mathrm{\ω}-2\mathrm{\π}k/N\right)\]\end{array}---\left(16\right)$其中，W_c(jω)定义为$W_c\left(j\mathrm{\ω}\right)=\underset{n=-N+1}{\overset{N-1}{\Σ}}{w}_c\left(n\right)e^{-jn\mathrm{\ω}}---\left(17\right)$