[发明专利]生产调度问题的分布集鲁棒模型的建模及优化求解方法

摘要

本发明提出的一种生产调度问题的分布集鲁棒模型的建模方法，属于生产调度及运筹学领域。本发明采用基于不确定分布函数集的分布集鲁棒优化方法对生产调度问题进行建模，模型由目标函数和约束条件构成，模型的目标为寻找一个最优的鲁棒调度序列，使得该序列的总流经时间在加工时间服从最差分布的情况下具有最小的条件风险价值。求解时，模型被分解为一个指派子问题和一个整数二阶锥规划子问题，采用最短平均加工时间优先准则以及本发明设计的两种柯西松弛算法，对模型进行优化并求得最优解。本发明将分布集鲁棒优化方法应用于生产调度问题中，比已有的鲁棒建模方法更符合实际生产情况，在保证系统性能的情况下，降低决策风险。

主权项

一种生产调度问题的分布集鲁棒模型的建模方法，其特征在于，该方法具体包括以下步骤：1)构建生产调度问题的分布集鲁棒模型DR‑SMSP在DR‑SMSP模型中，针对具有随机加工时间的单机调度问题，系统的性能指标选择为总流经时间TFT，假定所有工件均在加工开始的时刻释放，即释放时间均为零；工件的加工时间具有随机不确定性，随机加工时间的分布未知，但属于一个由支撑集、均值向量和协方差矩阵所确定的分布集中；由于工件的加工时间是随机向量，所有工件加工的总流经时间TFT是一个随机变量，系统性能TFT的随机度量选取为具有风险厌恶特性的条件风险价值CVaR；在此种设定下，DR‑SMSP模型的目标为寻找一个最优的鲁棒调度序列，使得该序列的TFT在加工时间服从最差分布的情况下具有最小的CVaR；1‑1)确定模型决策变量；该模型的决策变量为可行的调度方案，设模型中有n个工件，且工件的集合为J＝{1,2,...,n}，则一个可行的调度方案由矩阵X＝{xij,i,j＝1,...,n}表示；其中，如果工件j在加工序列的第i个位置上，则xij＝1，反之xij＝0；1‑2)加工时间的随机性表示；该模型的加工时间为一个随机向量p，其分布Pp是未知的，但属于一个由支撑集、均值向量和协方差矩阵确定的分布集Dp中，该分布集Dp的表达式如式(1)所示：其中，Sup(pj)表示每个加工时间的支撑集，E(p)和Cov(p)分别表示加工时间的均值向量和协方差矩阵；1‑3)构建模型目标函数；该模型的系统性能指标为总流经时间TFT，在给定一个调度方案X时，TFT由式(2)计算得到：由于加工时间是随机向量，所有工件的TFT是一个随机变量，本模型采用具有风险厌恶特性的条件风险价值CVaR作为随机TFT的度量；随机损失Z的CVaR表示其在最差1‑α概率下的期望，由式(3)计算得到：CVaRα(Z)＝E[Z|Z≥inf{z:Prob(Z＞z)≤1‑α}]   (3)其中，α∈(0,1)，表示CVaR的置信水平，Prob表示概率取值，inf表示求取集合中的下确界；当随机损失Z的概率分布Pz属于一个由支撑集、期望以及方差信息确定的分布集Dz时，在Dz中最差情况下的CVaRα(Z)被定义为鲁棒CVaRα(Z)，即RCVaRα(Z)，其表达式如式(4)所示：其中，sup表示取集合中的上确界；则带有CVaR风险厌恶的生产调度问题的分布集鲁棒模型的目标函数如式(5)所示：其中，的上标p表明RCVaR所属的分布集为Dp；1‑4)约束条件；生产调度问题的分布集鲁棒模型包含4类约束条件，其中1类约束是随机加工时间所服从的分布集约束，另外3类约束是调度方案的可行性约束，具体如下所示：1‑4‑1)随机加工时间约束；随机加工时间p的分布未知，但属于一个由支撑集、均值向量和协方差矩阵确定的分布集中，表达式如式(6)所示：1‑4‑2)工件占用位置约束；每个工件仅可占用加工序列中的一个位置，如式(7)所示：1‑4‑3)可行加工序列位置约束；可行加工序列中的每个位置仅可被一个工件占用，如式(8)所示：1‑4‑4)可行调度方案约束；可行调度方案X中的每个元素均是0‑1变量，如式(9)所示：xij∈{0,1},i＝1,...,n,j＝1,...,n   (9)约束式(7)至式(9)均是调度方案可行性约束，将其整合到一起，形成调度方案的可行域FB，如式(10)所示：1‑5)生产调度问题的分布集鲁棒模型的数学表达式，如式(11)所示：其中，FB为调度方案的可行域，的上标p表明RCVaR所属的分布集为Dp，min表示在可行域FB中寻找目标函数的最小值，arg表示求得最小目标函数值所对应的最优解X*；2)对生产调度问题的分布集鲁棒模型进行转化本模型将式(11)所示的DR‑SMSP1模型分解为一个指派问题AP R1和一个整数二阶锥规划问题I‑SOCP R2，给出如式(13)所示的在具有半无限支撑集的分布集中计算随机变量RCVaR的显示表达式，具体步骤如下：2‑1)计算随机变量在特定分布集下的RCVaR；本模型给出了在具有半无限支撑集的分布集中计算随机变量的RCVaR的显示表达式，如式(13)所示；对于随机变量Z，若其分布函数属于分布集Dz：则其RCVaRα由式(13)计算得到：2‑2)转换决策变量；将决策变量由矩阵X转换为向量π，转换关系如式(14)所示：其中，xi为矩阵X的第i行向量；根据此定义形式，π表示工件加工顺序的倒序，即给定一个π＝(π(1),π(2),...,π(n))，π(i)＝j表示工件j在第(n‑i+1)次序加工；π相应的可行域如式(15)所示：TFT表示为π与p的内积，如式(16)所示：f(π,p)＝f(X,p)＝πTp   (16)2‑3)分布函数集的映射关系；由于加工时间p的随机性，对每一个确定的π来说，f(π,p)是一个随机变量，记为Fπ；基于p的均值向量和协方差矩阵，Fπ的均值μf(π)和方差分别为：进而令Fπ的分布集为：对于任意一个Dp中的分布Pp，若随机向量p～Pp，则其相应投影随机变量的支撑集为[0,∞)，均值为πTμ＝μf(π)，方差为即的分布在分布集Df中；因此，在分布集Df中求得的是在Dp中求得的的一个上界，即：进而，DR‑SMSP1中的可以用其上界来替代，转化成DR‑SMSP2：根据式(13)所示的RCVaR计算表达式，按式(21)计算得到：2‑4)对生产调度问题的分布集鲁棒模型的分解；DR‑SMSP2的最优解通过求解一个指派问题AP和一个整数的二阶锥规划问题I‑SOCP获得，分解后的模型DR‑SMSP3如式(22)所示：其中，当不同工件的加工时间不相关时，DR‑SMSP3中的两个子问题：指派子问题AP R1和整数二阶锥规划子问题I‑SOCP R2分别转化为式(25)及式(26)的形式：其中，μj与分别为加工时间pj的均值和方差，