[发明专利]一种基于凸组合法的时变时滞系统的反馈控制器设计方法

摘要

本发明提出了一种基于凸组合法的时变时滞系统的反馈控制器设计方法，基于Lyapunov稳定性理论，采用时滞分割方法，通过分解时滞区间为多个等距的小区间，构造具有三重积分项的Lyapunov‑krasovskii泛函,基于凸组合法得到保守性更小的稳定性判据；在此基础上设计反馈控制器，通过运用线性化处理方法处理非线性项，给出控制器的存在性条件以及具体形式。其有益效果是本发明在时滞分割的基础上，构造三重积分项、充分利用时滞下界信息、采用推广的积分不等式，这些特性都使得系统保守性降低；与其他时滞分割方法相比，本发明引入较少的矩阵变量，降低了计算的复杂度，并且便于得到基于LMI的控制器存在性条件。

主权项

一种基于凸组合法的时变时滞系统的反馈控制器设计方法，其特征在于：该控制器设计过程如下：a.建立变时滞系统模型，其中：x(t)∈Rn为系统的状态向量；A、A1均为已知适维矩阵；是连续初始向量函数；变时滞h(t)满足：0≤hd≤h(t)≤hD，其中，0≤hd≤hD和μ≥0是常数；b.将时滞区间分割，将时滞区间分成N份等距的小区间，N>0,且是整数，则hi(i＝1,2,...,N+1)满足：hd＝h1<h2<…<hN<hN+1＝hD，其中每个小区间的长度为hα＝hi+1‑hi＝(hD‑hd)/N；c.对系统进行稳定性分析，在分析过程中，引入引理1、引理2、引理3、引理4；d.构造Lyapunov‑Krasovskii泛函，对泛函进行求导，根据步骤b中的引理1、引理2、引理3、引理4最终得到系统稳定性条件，当h(t)∈[hi,hi+1]时，本发明构造Lyapunov‑Krasovskii泛函为：其中，Vi1(t)＝ξT(t)Pξ(t)，其中，沿系统(1)的轨迹可得泛函V(t)的导数为：运用引理1和引理2可得下列式子成立：其中运用引理3得到其中，δT(t)＝[xT(t‑hi) xT(t‑h(t)) xT(t‑hi+1)]，令则其中，因此结合不等式(9)～(13)得到对于h(t)∈[hi,hi+1]，，根据引理4，若下列不等式成立：则有：则有由Lyapunov稳定性理论可知，系统(1)是渐近稳定的；e.得出系统稳定性的条件‑定理1：对于给定标量0<hd<hD和0≤μ<1，系统是渐近稳定的，若存在正定矩阵Qi>0(i＝1,2,3)，Ri>0(i＝1,2)及Ui>0(i＝1,2)；以及任意合适维数的矩阵Tj，Yj(j＝1,2,3),使下面的矩阵不等式成立：其中，Ξ12＝‑P12+P13,Ξ13＝P11A1,Ξ14＝‑P13,Ξ15＝ATP12+P22+hiU1,Ξ16＝ATP13+P23+hαU2,Ξ22＝‑Q1‑2R1+Y1+Y1T,Ξ26＝‑P23+P33,Ξ46＝‑P33,Ξ56＝0,Ξ66＝‑U2，Ac＝[A 0 A1 0 0 0],且满足hα＝hi+1‑hi＝(hD‑hd)/N，f.镇定器的设计，在步骤e中定理1的基础上考虑系统的控制器的镇定设计，令控制器的形式为：u(t)＝Kx(t)          (14)其闭环系统为：将(14)带入系统(15)，可得j.在定理1的基础上，给出镇定器的存在性条件‑定理2，用A+BK代替A，并在式(2)、(3)两端左乘右乘diag{X,X,X,X,X,X,X,X}及其转置，其中令定义即XP11A1X＝A1X,可得其中已知对于任意不等式J>0，不等式(21)成立：由于J>0，对任意矩阵X有(X‑J)J‑1(X‑J)>0对于任意给定的ε(ε‑1X‑J)(ε‑2J)‑1(ε‑1X‑J)＝XJ‑1X‑2εX+ε2J>0即：XJ‑1X>2εX‑ε2J             (22)由式(19)～(22)，应用Schur补引理可得式(17)、(18)；定理2对于给定标量0<hd<hD,0≤μ<1和ε，若存在适当维数的矩阵L＝LT>0，若存在正定矩阵及以及任意合适维数的矩阵使下面的LMI成立：Ξ13＝A1X,Ξ35＝0,Ξ36＝0,Ξ56＝0,且满足hα＝hi+1‑hi＝(hD‑hd)/N，那么是渐近稳定的且控制反馈增益为：K＝VX‑1。