[发明专利]一种具有多种不确定因素非线性系统稳定跟踪控制方法

摘要

本发明公开了一种具有多种不确定因素非线性系统稳定跟踪控制方法，包括步骤步骤一建立具有非对称非光滑饱和输入与执行器故障的高阶非线性系统的数学模型；步骤二用良好定义的软饱和函数来对非对称非光滑的硬饱和函数进行近似；步骤三定义一个滤波后的变量来表示非线性系统的广义跟踪误差信号；步骤四设计控制器对具有非对称非光滑饱和输入与执行器故障的高阶非线性系统进行控制；本发明其控制输入为非对称非光滑形式，并将控制增益当做时变函数来处理，使得更符合实际物理系统；其能处理同时具有非对称非光滑控制输入、参数不确定、控制增益有界时变、执行器故障特性等情况的非线性系统，能保证系统所有的闭环信号是全局统一有界的。

主权项

一种具有多种不确定因素非线性系统稳定跟踪控制方法，其特征在于：包括以下步骤：步骤一：建立具有非对称非光滑饱和输入与执行器故障的高阶非线性系统的数学模型：x·i=xi+1x·n=θTφ(x)+b(x,t)H(u)+d(t)y=x1---(1)]]>上式中i＝1,2,…,n‑1；x＝[x1,…,xn]T∈Rn是系统状态向向量，u∈R是所设计的控制器输入向量；y∈R是测量输出向量；函数d(t)代表系统的不确定性和外部干扰信号号，其界未知，即满足|d(t)|≤d1＜∞，其中d1是一个未知的常数；θ∈Rm是未知的常参数向量；φ(x)∈Rm是已知的非线性函数；b(x,t)是一个未知的并且时变的函数，代表着系统的控制增益；H(u)表示系统受非对称非光滑饱和特性影响；饱和输入函数H(u)的数学表达形式用公式(2)来进行描述H(u)=δ‾,u>um1k(t)u,-um2≤u≤um1-δ‾,u<-um2---(2)]]>其中参数um1和um2是控制信号u(t)的左右两个饱和拐点，其值是正的未知常数；参数和‑δ＜0分别是硬饱和函数H(u)的上界和下界；斜率k(t)是未知有界的时变函数；定义变量和δ较大者为步骤二：用良好定义的软饱和函数S(u)来对非对称非光滑的硬饱和函数H(u)进行近似；所述软饱和函数S(u)的定义如公式(3)所示：S(u)=δ‾e(r+βu)-δ‾e-(r+βu)e(r+βu)+e-(r+βu)---(3)]]>其中参数r定义为参数β是设计参数；因此硬饱和函数H(u)可以由公式(4)来进行描述：H(u)＝S(u)+D(u)  (4)其中函数D(u)是硬饱和函数H(u)与软饱和函数S(u)之间的差值，由公式(2)和公式(3)可知该函数的值也是有界的；由于任意给定的期望轨迹信号yd以及其n+1阶导数其中i＝1,2,...,n+1，都是已知的并且可靠的有界函数，于是定义出跟踪误差向量，其数学描述如式(5)所示：e(i)=xi+1-yd(i)---(5)]]>上式(5)表明所有的误差信号[e,e(1),…,e(n‑1)]T都是可测的；步骤三：定义一个滤波后的变量s来表示非线性系统(1)的广义跟踪误差信号，其数学描述如式(6)所示：s＝λ1e+…+λn‑1e(n‑2)+e(n‑1)  (6)其中参数λ1,λ2，…,λn‑1是一系列的常数，这些常数所决定的特征多项式的数学描述如公式(7)所示：h(p)＝pn‑1+λn‑1pn‑2+…+λ1  (7)该特征多项式(7)是赫维茨多项式；当时间t→∞时，系统的广义跟踪误差s→0或者s有界都可以保证误差向量[e,e(1),…,e(n‑1)]T→0或者[e,e(1),…,e(n‑1)]T有界；考虑非线性系统(1)的状态方程，并对通过滤波后得到的广义跟踪误差s进行求导可得s·=θTφ(x)+b(x,t)H(u)+d(t)+η---(8)]]>定义变量η如公式(9)所示：η=-yd(n)+λ1e(1)+...+λn-1e(n-1)---(9);]]>步骤四：在执行器无故障情况下，通过鲁棒自适应控制器对步骤一所建立的具有非对称非光滑饱和输入的高阶非线性系统进行控制；由硬饱和函数和软饱和函数的关系式(4)可知s·=-c1s+(c1s+θ^Tφ(x)+S(u)+η)+θ~Tφ(x)+(b(x,t)-1)H(u)+(d(t)+D(u))---(10)]]>定义变量z和如公式(11)所示z=c1s+θ^Tφ(x)+S(u)+ηd‾=d(t)+D(u)---(11)]]>将公式(11)代入公式(10)可得广义跟踪误差s的导数如下所示s·=-c1s+z+θ~Tφ(x)+(b(x,t)-1)H(u)+d‾---(12)]]>其中变量满足不等式并且dmax是一个未知的常数；变量z关于时间的导数描述为z·=c1s·+θ^·Tφ(x)+θ^Tφ·(x)+S·(u)+η·---(13)]]>因为软饱和函数S(u)是一个关于时间的光滑函数，因此可对S(u)求导S·(u)=∂S∂uu·=gu·---(14)]]>其中变量g由公式(15)描述g=2β(δ‾+δ‾)(e(r+βu)+e-(r+βu))2---(15)]]>同时，使控制信号u由一个等价的控制输入信号v通过一个一阶滤波器产生，它们之间的关系由方程(16)来描述u·=-αu+v---(16)]]>方程(16)中参数α是一个正的常数，代表着一阶滤波器的滤波特性；进一步对公式(13)中的变量的部分进行处理，并结合参数不确定非线性系统的状态方程(1)得到θ^Tφ·=θ^T∂φ∂xnx·n+θ^TΣi=1n-1∂φ∂xixi+1---(17)]]>其中对变量η求导，并结合公式(1)和公式(6)得到其导数的数学描述如下η·=λn-1(θTφ(x)+b(x,t)H(u)+d(t)-yd(n))+λ1e(2)+...+λn-2e(n-1)-yd(n+1)---(18)]]>定义变量η1并令其数学表达式如公式(19)所示η1=-yd(n+1)-λn-1yd(n)+λ1e(2)+...+λn-2e(n-1)---(19)]]>将公式(19)代入式子(18)得到变量η的导数可进一步描述为η·=λn-1(θTφ(x)+b(x,t)H(u)+d(t))+η1---(20)]]>于是，将式子(8)，(14)，(15)，(16)，(17)，(20)代入公式(13)可进一步得到变量z的导数的表达式如下所示z·=c1θTφ+c1b(x,t)H+c1η+c1d+θ^·Tφ+θ^T∂φ∂xnθTφ+θ^T∂φ∂xnb(x,t)H+θ^T∂φ∂xnd+θ^TΣi=1n-1∂φ∂xixi+1-gαu+gv+λn-1b(x,t)H+λn-1θTφ+λn-1d+η1---(21)]]>进一步得到的表达式，其简写如下所示z·=gv+A(·)---(22)]]>其中，函数A(·)满足如下不等式A(·)≤aF(·)  (23)式(23)中变量a是一个正的未知常数，其表达式(24)如下所示a=maxc1||θT||,c1bmψ,c1,c1d1,1,||θT||,bmψ,d1,1,α,λn-1||θT||,λn-1bmψ,λn-1d1,1---(24)]]>而标量函数F(·)的定义式(25)如下所示F(g)=4+2||f(x)||+|η|+|η1|+|θ^·Tf(x)|+|gu|+|θ^T∂φ∂xn|||φ(x)||+2|θ^T∂φ∂xn|+|θ^TΣi=1n-1∂φ∂xixi+1|---(25)]]>将不等式(23)代入式(22)可进一步得到满足如下不等式z·≤gv+aF(·)---(26)]]>考虑执行器无故障情况下非对称非光滑饱和输入的不确定非线性系统，用定义良好的光滑软饱和函数S(u)来近似该系统的非光滑硬饱和函数H(u)；于是针对等价的控制输入信号v设计出相应的控制规律，该控制律数学描述如下所示v=1g[-a^zF2|z|F+ϵ-s-c2z]---(27)]]>并对未知有界的参数和设计出相应的自适应律，如式(28)所示θ^·=-σ1θ^+φsa^·=-σ2a^+z2F2|z|F+ϵ---(28)]]>其中变量σ1＞0和σ2＞0是用户设计参数，在上述控制律(27)和自适应律(28)的作用下，通过控制器u控制公式(1)所述描述的非线性系统，使非对称非光滑饱和输入非线性系统的广义跟踪误差s全局最终一致有界；步骤五：在执行器存在故障失去部分作用时，通过鲁棒自适应容错控制器对步骤一所建立的具有非对称非光滑饱和输入的高阶非线性系统进行控制；当发生执行器故障时，实际控制输入信号ud与理想控制输入信号u不相等，它们之间的关系如公式(29)所示u＝ρ(t)ud+τ(t)  (29)式(29)中τ(t)是控制输入信号的未知部分，是完全不可控的，ρ(t)用于反映执行器的作用效果；在执行器存在故障失去部分作用情况下，0＜λmin≤ρ(t)≤1，0≤|τ|≤τm＜∞，参数λmin是ρ(t)的最小值；考虑执行器故障时，对控制输入信号u关于时间t进行求导运算，计算结果如公式(30)所示u·=ρ·(t)ud+ρ(t)u·d+τ·(t)---(30)]]>实际的控制输入信号ud关于时间t求导可得u·d=-αdud+v---(31)]]>将上式(29)和(30)代入公式(14)可得软饱和求导函数的数学表达式如下所示S·(u)=gu·=g(ρ·(t)ud+ρ(t)u·d+τ·(t))=gρ·(t)ud-gρ(t)αdud+ρ(t)gv+gτ·(t)---(32)]]>将式子(8)，(15)，(16)，(17)，(20)，(32)代入公式(13)可进一步得到变量z的导数的表达式如下所示z·=c1s·+θ^·Tφ(x)+θ^Tφ·(x)+S·(u)+η·=c1(θTφ(x)+b(x,t)H(u)+η+d(t))+θ^·Tφ(x)+θ^T∂φ∂xn(θTφ(x)+b(x,t)H(u)+d(t))+θ^TΣi=1n-1∂φ∂xixi+1+gρ·(t)ud-gρ(t)αdud+ρ(t)gv+gτ·(t)+λn-1(θTφ(x)+b(x,t)H(u)+d(t))+η1=ρgv+A1(·)---(33)]]>式(33)中函数A1(·)被定义为如下表达式，并满足如下不等式条件A1(·)=c1s·+θ^·Tφ(x)+θ^Tφ·(x)+S·(u)+η·=c1θTφ(x)+c1b(x,t)H(u)+c1η+c1d(t)+θ^·Tφ(x)+θ^T∂φ∂xn(θTφ(x)+b(x,t)H(u)+d(t))+θ^TΣi=1n-1∂φ∂xixi+1+gρ·(t)ud-gρ(t)αdud+gτ·(t)+λn-1(θTφ(x)+b(x,t)H(u)+d(t))+η1≤a1F1(·)---(34)]]>不等式(34)中的已知函数F1(·)可写成式(35)所示形式F1(·)=||φ||+1+|η|+1+|θ^·Tφ|+|θ^T∂φ∂xn|||φ||+|θ^T∂φ∂xn|+|θ^T∂φ∂xn|+|θ^TΣi=1n-1∂φ∂xixi+1|+|gud|+|gρud|+|g|+||φ||+1+1+|η1|=2||φ||+4+|η|+|θ^·Tφ|+|θ^T∂φ∂xn|||φ||+2|θ^T∂φ∂xn|+|θ^TΣi=1n-1∂φ∂xixi+1|+2|gud|+|g|+|η1|---(35)]]>定义未知的常数a1为如下式子a1=maxc1||θT||,c1bmψ,c1,c1d1,1,||θT||,bmψ,d1,1,μ1,αd,μ2,λn-1||θT||,λn-1bmψ,λn-1d1,1=maxc1||θT||,c1bmψ,c1,c1d1,1,||θT||,bmψ,d1,μ1,αd,μ2,λn-1||θT||,λn-1bmψ,λn-1d1---(36)]]>因此将式(34)代入式(33)可进一步得变量z的导数的满足如下不等式z·≤ρgv+a1F1(·)---(37)]]>考虑执行器故障情况下，用良好定义的光滑函数S(u)来近似公式(1)描述的非线性系统的硬饱和函数H(u)，并针对等效控制输入信号v设计出如下控制律，其数学表达式(38)如下所示v=1g[-c2z-|a^1|zF12|z|F1+ϵ]---(38)]]>以及关于参数和所对应的自适应律θ^·=sφ-σ1θ^a^·1=-σ2a^1+z2F12|z|F1+ϵ---(39)]]>公式(38)中参数c2是一个正的常数，公式(39)中参数σ1＞0、σ2＞0和ε＞0是设计参数；在上述控制律(38)和自适应律(39)的作用下，通过所设计的控制器u控制公式(1)所述描述的非线性系统，使在在执行器故障情况下，非对称非光滑饱和输入非线性系统的广义跟踪误差s全局最终一致有界。