[发明专利]以随机位移响应方差为目标的结构拓扑优化设计方法

摘要

本发明公开了一种以随机位移响应方差为目标的结构拓扑优化设计方法，用于解决现有结构拓扑优化设计方法实用性差的技术问题。技术方案是采用大质量法将多点加速度转化为力施加到结构上，采用虚拟激励法将随机响应分析转换为简谐响应分析，并使用模态叠加法求解位移响应。然后在考虑频段内以结构关心位置处位移响应功率谱的方差值最小为目标，以结构体积分数为约束进行设计。相比背景技术的设计方法，本发明方法考虑以随机位移响应方差来直观衡量频响曲线的平稳性，并以此为目标进行拓扑优化设计。最终能够设计得到清晰有效的结构构型，从而能够满足工程实际中对结构随机位移响应曲线尽可能平稳的设计需求，具有极强的工程实际应用价值。

主权项

一种以随机位移响应方差为目标的结构拓扑优化设计方法，其特征在于包括以下步骤：步骤一、对结构初始几何模型进行有限元网格划分，获得有限元模型；在拟施加激励位置外建一大质量点，大质量点与结构上承受加速度激励的节点之间通过刚性单元连接；步骤二、在大质量点处施加与加速度等效的力载荷；随机载荷采用限带白噪声激励bp(t)，即在整个激励频段上拥有完全相同的功率谱密度值；其中，p(t)为d维随机激励向量，其功率谱密度矩阵为Sp(ω)，d为载荷中力的个数，ω为激励圆频率；b为n×d的转换矩阵，用于将d维随机激励向量转换为n维激励分布向量，n为包含大质量节点自由度的结构总自由度数；载荷激励频段为[ωa,ωb]，ωb、ωa分别表示激励圆频率上下限；由于功率谱密度矩阵Sp(ω)为Hermitian矩阵，因此存在下式分解Sp(ω)=Σq=1Q(γq)*(γq)T---(1)]]>其中，Q为功率谱密度矩阵Sp(ω)的秩，γq为d维列向量，表示第q个虚拟简谐激励，(γq)*为其共轭矩阵；1≤q≤Q，上标T表示向量或矩阵的转置；采用大质量法实现加速度载荷的施加，此时的动力学平衡方程按分块矩阵形式表示为MssMsbMbs(Mbb+ML)x··sx··b+CssCsbCbsCbbx·sx·b+KssKsbKbsKbbxsxb=0(Mbb+ML)x··g---(2)]]>其中，Mss、Msb、Mbs、Mbb为结构整体质量矩阵M按结构基础节点和自由节点分块后得到的矩阵，其中下标s表示自由节点自由度，下标b表示基础节点自由度；同理Css、Csb、Cbs、Cbb为结构整体阻尼矩阵C分块后得到的矩阵，Kss、Ksb、Kbs、Kbb为结构整体刚度矩阵K分块后得到的矩阵，同时ML为对应于基础节点质量矩阵Mbb的大质量矩阵；为加速度幅值向量的分块形式，同理为速度幅值向量的分块形式，xs、xb为位移幅值向量x的分块形式；为拟施加的基础加速度载荷向量；将上述公式中的第二个项展开Mbsx··s+Mbbx··b+MLx··b+Cbsx··s+Cbbx··b+Kbsxs+Kbbxb=Mbbx··g+MLx··g---(3)]]>上式两侧左乘ML的逆矩阵当质量点的质量很大时，中对角元素趋于零，则基础激励处实际获得的加速度为：x··b≈x··g---(4)]]>步骤三、设置拓扑设计变量ηh初始值，优化迭代时其值在0‑1之间变化，h是正整数，表示设计域单元编号；给定实体材料杨氏模量E、密度ρ和泊松比μ；每次迭代后，根据当前设计变量值，更新结构有限元模型中的相应材料属性；为了降低局部模态对拓扑优化过程带来的负面影响，选取多项式插值对单元材料属性进行匹配，分别更新每一个有限元单元在当前迭代步下的杨氏模量Eh和密度ρh；Eh=15ηh5+ηh16E---(5)]]>ρh＝ηhρ  (6)步骤四、从模态分析中提取每个单元的刚度矩阵Kh、质量矩阵Mh，以及结构的前l阶固有频率ωi和模态振型矩阵1≤i≤l；由各阶模态振型向量组成；采用瑞利阻尼时，结构的前l阶模态的阻尼比ζi按下式进行计算：ζi=α+βωi22ωi---(7)]]>式中，α与β为瑞利阻尼系数；采用虚拟激励法计算结构指定自由度r的随机位移响应功率谱密度sur(ω)=Σq=1Q||(gq(t))r||2---(8)]]>式中，u表示位移，(gq(t))r为结构指定自由度r在第q个虚拟简谐激励γq下的位移响应，||(gq(t))r||表示复数(gq(t))r的模，即位移响应幅值；(gq(t))r采用模态叠加的方法进行计算，其计算公式为由于采用大质量法进行基础加速度激励时，大质量点激励方向的自由度是放开的，模态分析时会存在刚体模态；在进行模态固有频率和振型提取时需过滤掉刚体模态信息，模态叠加后所得位移为结构指定自由度r相对于基础大质量点的位移响应；式中a为n维列向量，除第r项为1外其余项均为0，T表示向量转置；为各阶模态振型向量，1≤i≤l，l为进行模态叠加时提取的模态阶数；b为n×d转换矩阵，用于将d维随机激励向量转换为n维激励分布向量，n为包含大质量节点的结构总自由度数；假如p(t)中第k个力施加在第z个自由度上，则b的第k列第z行的元素值是1，k列中其它元素值均为0，1≤k≤d，1≤z≤n；ejωt表示以自然常数e为底数的指数函数，ω为激励圆频率，j2＝‑1；Hi为质量矩阵归一化进行解耦后的第i个单自由度系统的频响函数，计算公式为Hi=(ωi2-ω2+2jζiωiω)-1---(10)]]>其中，ω为激励圆频率，ωi和ζi为第i阶固有频率和模态阻尼比，1≤i≤l，l为进行模态叠加时提取的模态阶数；步骤五、按固有频率对考虑频段进行细分，得到若干个频率采样点；这些频率采样点的位移响应功率谱的方差值按下式计算D(Sur)=1NΣξ=1N(Sur(ωξ)-S‾ur)2---(11)]]>其中，N为频段[ωa，ωb]内采样点总数，ωb、ωa分别表示激励圆频率上下限，ωξ为第ξ个采样点圆频率，1≤ξ≤N；为指定自由度r处所有频率采样点位移响应功率谱的平均值，其计算式为：S‾ur=1NΣξ=1NSur(ωξ)---(12)]]>显然，位移响应方差值总是正值，其值越小表示指定自由度上的频响曲线越平稳；步骤六、给定体积分数约束上限VfU，采用下式计算当前迭代步的结构体积分数Vf；Vf=ΣhVhηhV0---(13)]]>其中，Vh表示第h个实体材料单元的体积，V0为初始实体结构体积；步骤七、以随机位移响应方差最小为目标的结构拓扑优化模型如下findη={ηh}h=1,2,3...enumminD(Sur)s.t.Vf≤VfU0<ηL≤ηh≤1---(14)]]>式中，η代表设计变量的集合，ηh为第h个有限单元的设计变量值，其中1≤h≤enum，enum代表设计域单元总数；迭代过程中设计变量ηh值在0‑1之间变化，表示实体材料的有无；为避免有限元分析时结构刚度矩阵的奇异，引入设计变量下限ηL；优化目标为结构指定自由度r处随机位移响应方差最小，约束条件为体积约束；步骤八、求得目标函数和约束条件关于设计变量的灵敏度；选取基于梯度的GCMMA优化算法，采用自编拓扑优化程序CommonOpt.exe进行优化迭代，得到以随机位移位移响应方差为目标的结构拓扑优化设计结果。