[发明专利]一种不确定性间歇过程的约束2D跟踪控制方法

摘要

本发明针对带有不确定性的间歇过程，提出了一种不确定性间歇过程的约束2D跟踪控制方法。首先，针对给定的系统动态模型设计迭代学习控制律；根据2D系统理论以及所设计的迭代学习控制律，并引入状态误差和输出误差，将原系统动态模型转化为一个以预测值形式表示的2D‑FM闭环系统模型；进而，根据所设计的无穷时域性能指标和Lyapunov稳定性理论，给出以线性矩阵不等式（LMI）形式表示的确保闭环系统鲁棒渐进稳定的充分条件，以及最优控制律的表达形式。该方法控制下的跟踪误差数值更小，收敛更快；更重要的是，控制输入没有大幅度起伏，只需对其进行细微的调节，这有利于资源的节约，减少了频繁操作带来的麻烦。

主权项

一种不确定性间歇过程的约束2D跟踪控制方法，其特征在于，包括以下步骤：步骤1、构建二维状态空间模型，并将其转化为2D‑FM模型，具体为：1.1首先构建二维状态空间模型，由如下形式表示：x(t+1,k)=A‾x(t,k)+Bu(t,k)+w(t,k)y(t,k)=Cx(t,k)x(t,k)=x0,k;k=1,2,...---(1)]]>其中，t表示时间，k表示批次，x0,k为k批次运行时的初始条件；x(t,k)∈Rn,y(t,k)∈Rl和u(t,k)∈Rm分别表示k批次t时刻的状态变量，输出变量和输入变量；且A,B,C为适维常数矩阵；ΔA(t,k)表示系统内部不确定性且满足ΔA(t,k)＝EG(t,k)F，其中G(t,k)GT(t,k)≤I，{E,F}为适维常数矩阵，I为适维单位矩阵；w(t,k)表示未知的外部扰动；1.2针对上述模型(1)，引入如下形式的迭代学习控制律：∑ilc:u(t,k)＝u(t,k‑1)+r(t,k)(for u(t,0)＝0,t＝0,1,2,…,T)      (2)其中，u(t,0)表示迭代过程的初值，r(t,k)∈Rm为待确定的迭代学习更新律；本发明的控制目标是确定更新律r(t,k)，使其控制下的运行轨迹y(t,k)尽可能地跟踪上设定的轨迹yr(t)；1.3定义输出误差：e(t,k)＝y(t,k)‑yr(t)                        (3)其中，yr(t)表示每一批次的设定轨迹；1.4定义一个批次方向的误差函数：δf(t,k)＝f(t,k)‑f(t,k‑1)                      (4)其中，f可为状态变量，输出变量或者未知的外部扰动；1.5将构建的二维状态空间模型转化为2D‑FM模型，对于模型(1)，由式(2)‑(4)可得：δx(t+1,k)=A‾δx(t,k)+Br(t,k)+δw‾(t,k)---(5a)]]>e(t+1,k)=e(t+1,k-1)+CA‾δx(t,k)+CBr(t,k)+Cδw‾(t,k)---(5b)]]>其中由此，可获得增广的2D‑FM模型：Σ2D-FM:z(t+1,k)=A1z(t,k)+A2z(t+1,k-1)+B1r(t,k)+Dδw‾(t,k)δy(t,k)=ΔCδx(t,k)=C1z(t,k)---(7)]]>其中，C1＝[C 0],步骤2、根据所得到的2D‑FM模型设计出相应形式的控制律，具体为：2.1设计如下的迭代学习控制律：r(t,k)=H1z(t,k)+H2z(t+1,k-1)=H1δx(t,k)e(t,k)+H2δx(t+1,k-1)e(t+1,k-1)---(8)]]>则闭环形式的2D‑FM系统可表示为：Σ2D-FM-C:z(t+1,k)=(A1+B1H1)z(t,k)+(A2+B1H2)z(t+1,k-1)+Dδw‾(t,k)δy(t,k)=ΔCδx(t,k)=C1z(t,k)---(9)]]>2.2用z(t+j|t,k),r(t+j|t,k),y(t+j|t,k)分别表示相应变量的预测值，上式(9)可重新写为：Σ2D-FM-C-P:z(t+j+1|t,k)=(A1+B1H1)z(t+j|t,k)+(A2+B1H2)z(t+j+1|t,k-1)+Dδw‾(t+j|t,k)δy(t+j|t,k)=ΔCδx(t+j|t,k)=C1z(t+j|t,k)---(10)]]>其中，j＝0,1,2...；2.3考虑如下的性能指标：J∞(t,k)=Σj=0∞z(t+j|t,k)TQ1z(t+j|t,k)+z(t+j+1|t,k-1)TQ2z(t+j+1|t,k-1)+r(t+j|t,k)TRr(t+j|t,k)-ηδw‾(t+j|t,k)Tδw‾(t+j|t,k)---(11)]]>其约束条件为：|r(t+j|t,k)|≤rm|δy(t+j|t,k)|≤δym---(12)]]>其中，Q1,Q2∈R(n+l)×(n+l)，R∈Rm×m为给定的正定矩阵，正数rm＞0，δym＞0分别为更新律输入增量和输出变量的上界值；2.4定义一个如下的Lyapunov函数：V[z(t,k)]=ΔVT[z(t,k)]+VK[z(t,k)]=z(t,k)TP1z(t,k)+z(t,k)TP2z(t,k)---(13)]]>其中，P1＞0，P2＞0；若要系统渐近稳定，则需满足下列条件：ΔV[z(t+j+1|t,k)]=VT[z(t+j+1|t,k)]-VT[z(t+j|t,k)]+VK[z(t+j+1|t,k)]-VK[z(t+j+1|t,k-1)]=z(t+j+1|t,k)T(P1+P2)z(t+j+1|t,k)-z(t+j|t,k)z(t+j+1|t,k-1)δw‾(t+j|t,k)TP1000P20000z(t+j|t,k)z(t+j+1|t,k-1)δw‾(t+j|t,k)<z(t+j+1|t,k)TPz(t+j+1|t,k)-z(t+j|t,k)z(t+j+1|t,k-1)δw‾(t+j|t,k)TP1000P20000z(t+j|t,k)z(t+j+1|t,k-1)δw‾(t+j|t,k)≤-z(t+j|t,k)TQ1z(t+j|t,k)+z(t+j+1|t,k-1)TQ2z(t+j+1|t,k-1)+r(t+j|t,k)TRr(t+j|t,k)-ηδw‾(t+j|t,k)Tδw‾(t+j|t,k)---(14)]]>2.5对上式从j＝0到∞求和，且有V[z(∞,k)]＝0或z(∞,k)＝0，P1+P2＜P，则：Σj=0∞ΔV[z(t+j+1|t,k)]=V[z(∞,k)]-V[z(t,k)]=-[z(t,k)TP1z(t,k)+z(t,k)TP2z(t,k)]]]>J∞(t,k)≤V[z(t,k)]＜z(t,k)TPz(t,k)≤γ                 (15)其中，γ为J∞(t,k)的上界值；2.6将V[z(t,k)]＜z(t,k)TPz(t,k)≤γ写成LMI的形式：1z(t,k)Tz(t,k)S≥0,S=γP-1>0---(16)]]>2.7根据式(10)和(13)，式(14)可展开为：z(t+j|t,k)z(t+j+1|t,k-1)δw‾(t+j|t,k)T{(A1+B1H1)T(A2+B1H2)TDTP(A1+B1H1)T(A2+B1H2)TDTT-P1000P2000ηI+Q1000Q20000+H1TH2T0RH1TH2T0T}z(t+j|t,k)z(t+j+1|t,k-1)δw‾(t+j|t,k)≤0---(17)]]>若要上式成立，则需有：(A1+B1H1)T(A2+B1H2)TDTP(A1+B1H1)T(A2+B1H2)TDTT-P1000P2000ηI+Q1000Q20000+H1TH2T0RH1TH2T0T≤0---(18)]]>式(18)成立的等价条件为：P‾100SA11T+Y1TB1TSQ11/200Y1TR1/20SF‾T0P‾20SA2T+Y2TB1T0SQ21/20Y2TR1/20000ϵIDT000000A1S+B1Y1A2S+B1Y2DS0000E‾0Q11/2S000γI000000Q21/2S000γI0000000000γI000R1/2Y1R1/2Y200000γI00000E‾T0000μ-1I0F‾S00000000μI≥0---(19)]]>且伴有下列约束条件：P‾1+P‾2<S---(20)]]>XY1Y2Y1TS0Y2T0S≥0withX≤rm2---(21)]]>ZC1(A11S+B1Y1)C1(A2S+B1Y2)C1E10(A11S+B1Y1)TC1TS00SF1T(A2S+B1Y2)TC1T0S00E1TC1T00λ-1I00F1S00λI≥0withZ≤δym2---(22)]]>其中，P1,P2,P∈R(n+l)×(n+l)为对称正定矩阵，Y1,Y2∈Rm×(n+l)，X∈Rm×m和Z∈Rl×l为对称矩阵，且γ＞0，μ＞0，η＞0，λ＞0，并定义S＝γP‑1，ε＝γ‑1η，Yi＝HiS，i＝1,2，ε＝γ‑1η；2.8根据上述线性矩阵不等式约束(16)、(19)‑(21)，可实时获得Y1，Y2和S，则所求的控制律r(t,k)增益为：H1＝Y1S‑1＝γ‑1Y1P,H2＝Y2S‑1＝γ‑1Y2P从而获得具有约束的控制律u(t,k)。