[发明专利]用于加解密的受控Shimizu-Morioka系统与Lorenz系统广义同步方法

摘要

一种用于加解密的受控Shimizu‑Morioka系统与Lorenz系统广义同步方法，所述方法包括以下步骤：1)广义混沌同步问题描述；2)响应系统的状态变换和反馈；3)驱动系统的状态转换；4)广义同步。本发明提供一种应用于保密通信的受控Shimizu‑Morioka系统与Lorenz系统的广义混沌同步方法，以Lorenz系统为驱动系统，以单输入的受控Shimizu‑Morioka系统为响应系统，采用微分几何中向量场的李导数方法设计一种混沌同步算法，实现广义同步，控制品质较高。

主权项

1.一种用于加解密的受控Shimizu‑Morioka系统与Lorenz系统广义同步方法，其特征在于，包括以下步骤：1)广义混沌同步问题描述驱动系统为Lorenz系统形式如下：其中x＝(x1,x2,x3)T是状态变量，a、b和c是已知的正实数参数，2a‑b≠0；以受控Shimizu‑Morioka系统为响应系统，形式如下：其中ξ＝(ξ1,ξ2,ξ3)T是状态变量，u是标量输入，α和β为系统中已知的正实数参数，此β与式(1)中的b等值，即β＝b；广义混沌同步要实现的目标是：在驱动系统(1)与响应系统(2)初值分别为x(t0)和ξ(t0)，响应系统轨迹经过状态反馈u＝u(x,ξ,t)                            (3)其中t表示时间，和相空间之间的状态变换ξ＝T(x)                              (4)后趋向于驱动系统的轨迹,即这里||·||代表空间中向量的2‑范数；2)响应系统的状态变换和反馈对响应系统(2)作如下状态变换η＝S(ξ)其中η＝(η1,η2,η3)T所以，这是一个线性变换，MS为3阶方阵，此线性变换的逆变换为以η为状态，系统表示为作反馈u＝‑(1‑η1)η2+αη3+u0                 (9)再考虑到β＝b，系统简化为该系统属于受控的下三角系统，三阶下三角系统的一般形式为其中w为输入控制量；另一方面观察系统(10)的后两个等式实际形成了线性系统形式，所以系统(10)为实现部分线性化；3)驱动系统的状态转换为了找寻驱动系统(1)的状态变换以简化系统，先为此系统加上控制量成为其中v为加入的输入控制量；系统(12)作反馈v＝‑(cx1‑x2‑x1x3)+v1                 (13)系统简化为考虑将系统(14)通过状态变换和进一步的反馈转换为更为简单与系统(10)更为相似的形式，以便于设计广义同步控制方法；由于系统(10)为下三角形式的受控常微分方程，希望系统(14)能转换为同样后者相似形式，为此，记系统(14)的漂移向量场为以及输入向量场为令向量场计算如下向量场李括号注意在全局范围内秩为2，并且说明此分布对合；令计算如下向量场李括号在x₁＝0或者2a‑b＝0时是秩仍为2，这也说明系统(14)不可能实现状态反馈线性化；但是，当2a‑b≠0时，仅在一个零测度集内秩为2，此集合之外秩均为3，所以系统(14)可以通过状态变换等价转换为下三角系统(11)，然而，仍需探究系统(14)究竟能转换为何种下三角系统的问题，并且希望得到形式上较为简单的下三角系统，为此，注意到此时全局范围内分布的秩为3并且对合，令取如下分布Δ0＝span{X0}；Δ1＝span{X0,X1}；Δ2＝span{X0,X1,X2}，    (23)分布Δ0,Δ1,Δ2及X0,X1,X2具有如下性质：①可验证[X0,X1]＝0，[X1,X2]＝0以及[X0,X2]＝0②由①，Δ0,Δ1,Δ2均为对合分布；③由①，存在状态变换h＝(h1(x),h2(x),h3(x))T＝H(x)＝H(x1,x2,x3)满足④由于说明性质③中的状态变换h下，系统必定仍然具有下三角形式；上述性质③也意味着满足以下3个偏微分方程组，第1组为其中h1(x)为光滑函数，符号”L”表示做李导数，第2组为其中h2(x)为光滑函数，第3组为其中h3(x)为光滑函数，上述3组偏微分方程的可行解分别为在h＝(h1,h2,h3)T状态下系统成为该系统实际上已具有下三角系统如系统(11)的形式，但从系统(29)的第二个式子看，上述系统通过如下状态变换还可进一步简化如用y＝(y1,y2,y3)T状态表示x状态则为在y状态下写出系统对比系统(12)和系统(32)可知经过状态变化(30)系统(1)成为上述系统的前2个方程在形式于驱动系统的等价形式(10)已实现一致；4)广义同步现在考虑系统(33)与系统(10)的同步问题，令二者状态差为e＝η‑y＝(e1,e2,e3)T，则设计反馈系统表示为对于上述系统的子系统根据线性系统的经典方法设计如下控制器：该控制器下系统(37)将在的有限时间控制内，即t1时刻实现e2(t1)＝e3(t1)＝0，设计一种控制器从t0时刻开始，经有限时间实现e2(t1)＝e3(t1)＝0，并保证此过程中控制量有连续的一阶导数并过渡到0；首先，设计预想的e2(t)为其中p(t)为一元多项式，由于要求t1时刻到达系统(37)的原点以及u1在t＞t0范围内有连续的一阶导数，这意味着e2(t)在t1时有连续的三阶导数，实际上e2(t)和其一、二、三阶导数再t1时刻为保证连续均只能为0，即再考虑系统(37)的t0时刻应满足由于式(40)和式(41)共给出6个条件，所以p(t0)应为5次多项式，再利用式(40)得其中C0和C1为待定系数，利用式(41)的第1个式子得到再由式(41)的第2个式子整理得到该e2(t)满足式(40)和式(41)的各项要求，那么以及明显e2(t1)＝e3(t1)＝u1(t1)＝0；在时间t₁之后，系统(36)的第一个方程成为此方程明显是大范围渐进稳定的，从而系统(36)大范围渐进稳定，说明系统(10)与系统(33)在此控制律下实现同步；回到系统(1)与系统(2)的广义同步问题，系统(2)经过反馈和状态变换(6)成为系统(10)，系统(1)作了状态变换后成为系统(33)，其间的状态变换需综合式(28)以及式(30)并命名此状态变换为y＝(y1,y2,y3)T＝Y((x1,x2,x3)T)＝Y(x)，而控制律可见式(35)，其中u1的表达式见式(47)。