[发明专利]一种加权分数傅立叶变换域低采样率信号恢复方法

权利要求书

1.一种加权分数傅立叶变换域低采样率信号恢复方法，其特征在于其步骤如下：

步骤一：模拟信号f(t)经过A/D转换器进行时域采样，然后将时域采样序列f(n)送给可编程器件；

步骤二：可编程器件根据时域采样序列f(n)计算出该采样序列的时域反转序列f(-n)，以及时域采样序列f(n)的离散傅立叶变换序列F(n)和时域反转序列f(-n)的离散傅立叶变换序列F(-n)；

步骤三：可编程器件计算出给定加权分数傅立叶变换阶数下的加权系数A_l(α)，l＝0、1、2、3；

步骤四：可编程器件根据序列时域采样序列f(n)、时域反转序列f(-n)、时域采样序列f(n)的离散傅立叶变换序列F(n)、时域反转序列f(-n)的离散傅立叶变换序列F(-n)和加权系数A_l(α)，l＝0、1、2、3，求出加权分数傅立叶变换域重构序列{C_n}；

其中，

求C_k的积分限改为从-∞到+∞得C_k的具体形式如下

根据WFRFT的定义，有

将上式代入到C_k中得

同时将求和标记k替换成n＝-k，即可获得

步骤五：可编程器件结合加权分数傅立叶变换域重构序列{C_n}和插值函数I_n(t)，其中，加权分数傅立叶变换域重构序列{C_n}通过步骤四得到，插值函数I_n(t)的形式如下：

根据加权分数傅立叶变换域的重构公式，计算出任意重构点的信号值；

对于L²(R)中，任意信号f(t)，其WFRFT可以被定义为如下形式

其中，α为WFRFT的变换阶数；K_α(u，t)为积分核，具体形式如下

其中，A_l(α)(l＝0，1，2，3)为WFRFT的加权系数，形式如下

相应地，WFRFT的逆变换可以定义为

下面给出基于加权分数傅立叶变换域信号重构公式的推导过程；

若原始连续信号f(t)的权分数傅立叶变换F^α[f](u)是带限的，即存在常数U_α＞0，使得下式成立

F^α[f](u)＝0，|u|≥U_α

根据傅立叶级数理论，F^α[f](u)在[-U_α，U_α]上可以展开成傅立叶级数的形式，如下

将步骤四C_k代入到F^α[f](u)的级数展开式中，得

对F^α[f](u)进行加权分数傅立叶变换的逆变换得

因为F^α[f](u)＝0，|u|≥U_α，则，上式可改写为如下形式

将F^α[f](u)的级数形式代入到上式，并交换积分和求和的次序，得

其中，I_n(t)的形式同步骤五；

综上所得，对于连续信号f(t)可以通过下述公式对其进行重构：

步骤六：将计算出的重构点信号值经过D/A转换器便可以恢复出模拟信号波形。

2.根据权利要求1所述的一种加权分数傅立叶变换域低采样率信号恢复方法，其特征在于可编程器件为数字信号处理器DSP或现场可编程门阵列FPGA。