[发明专利]基于正则化条件的代数B-样条曲线的光栅化方法

说明书

技术领域

本发明涉及计算机代数曲线曲面造型技术，特别涉及一种基于正则化条件的代数B-样条曲线的光栅化方法。

背景技术

计算机辅助几何设计始兴于20世纪60年代，在计算机发展的影响下，为了利用计算机更高效地进行设计，人们开始寻找研究曲线或曲面的表示方法。随着计算机技术的发展，代数B-样条曲线更多的应用于曲线表示中。使用代数B-样条曲线表示方法的优点在于，代数B-样条曲线的控制系数具有几何意义，在编辑的过程中可以直观地通过改变控制系数控制曲线的形状。

1989年，MIT的Patrikalakis教授和Kriezis将分段连续的B-样条基函数引入到代数曲面的表示，提出了代数B-样条曲面。其二维表现形式是代数B-样条曲线。

f(x,y)=Σj=0nΣi=0mBijNi,k(x)Nj,l(y)=0]]>

X＝[x₀，x₁，x₂…x_k+m]，Y＝[y₀，y₁，y₂…y_l+n]

代数B-样条曲线是代数B-样条曲线研究的基础，上式中，n、m分别为x、y方向上的控制系数的个数，k、1分别为x、y方向上的次数。B_ij是代数B-样条曲线的控制系数，N_i，k(x)和N_j，l(y)是基于X、Y节点向量的B-样条基函数。代数B-样条曲线的节点向量和控制系数能很的反映曲线的特征。

节点向量对曲线的影响：对于次数相同的曲线，节点向量之间的距离反映了控制系数所能够影响的区域。原始节点向量差值越大，对应的控制系数影响的区域越大。对于重节点的情况，控制系数对相邻区域影响减少。当重节点次数等于曲线的次数，两边的控制系数相互不影响，可以把曲线分为两个代数B-样条曲线。因此，通过重节点插入算法，能够把代数B-样条曲线转化为分段代数Bézier曲线。

控制系数对曲线的影响：如果角点的控制系数为零，由端点插值性可以保证曲线通过该角点。如果对于n次的代数B-样条曲线，某方向上连续n+1个控制系数都大于零或者小于零，说明该n+1个控制系数对应的节点向量上没有曲线通过。对于某个控制系数B，如果B的绝对值越大，会使得曲线越远离所对应的控制节点，反之B绝对值越小，曲线越接近于控制节点。

代数B-样条曲线具有良好的几何性质。变差缩减性：对于给定的方向，沿该方向的直线与曲线的交点不多于控制系数在此方向上的变号次数。局部编辑能力：对于给定的节点向量，每个控制系数所影响的区域为n+1个节点向量区间，n为曲线在该方向的次数，代数曲线中控制系数具有明显的几何意义，便于对曲面的直观编辑。光滑性：在节点的区间内，曲线的光滑性为n，在没有重节点的节点上光滑性为n-1。