[发明专利]一种低采样率下四元数域彩色图像恢复的方法

权利要求书

1.一种低采样率下四元数域彩色图像恢复的方法，其特征在于，包括如下步骤：

首先对彩色图像进行四元数表达，即一幅大小为m×n的彩色图像，其四元数表达形式为：q(x,y)=0+R(x,y)i+G(x,y)j+B(x,y)k,0≤x≤m-1,0≤y≤n-1，其中R(x,y)，G(x,y)，B(x,y)分别表示彩色图像矩阵第(x,y)个位置的R分量，G分量，B分量的值；i,j,k是四元数的三个虚数单位；

然后，将原始大小为m×n的四元数矩阵X列向量化为大小为mn×1四元数矩阵vec(X)，利用生成的大小为p×mn均匀随机采样矩阵A进行采样，将vec(X)映射为p×1的四元数向量b，即b＝Φ(X)＝A·vec(X)，Φ为从空间到空间的线性映射；

根据已知的采样矩阵A和采样得到的四元数向量b，恢复出原始整幅彩色图像矩阵X，具体包括以下步骤：

min rank(X)s.t.b=A·vec(X),

rank(X)代表矩阵X的秩，由于式(1.1)求解是个NP-Hard问题，矩阵X的秩的优化和矩阵X的核范数的优化具有等价性，那么上式可以转化为X的核范数下的最优化问题：

进一步，对于四元数矩阵vec(X)、A和b，用与其具有等价意义的实数矩阵vec(X)^R、A^R和b^R的表示形式，如下所示：

因此式(1.2)可以转化为：

min‖X^R‖_*s.t.b^R=A^R·vec(X)^R,

式(1.3)关于矩阵X^R的优化问题进一步转化为关于矩阵Y和Z的优化问题加以解决：

minY,ZtraceYZ]]>

s.t.YXR(XR)TZ≥0,bR=AR·vec(X)R---(1.4)]]>

其中，≥0代表矩阵为半正定矩阵，和

要得到的最优半正定矩为：YXR(XR)TZ,]]>X^R即为要得到的最优解；鉴于SeDuMi软件包是将目标矩阵M列向量化处理，即处理矩阵其中，所以，traceYZ]]>的最小化即为：

mincM~]]>

式：b^R=A^R·vec(X)^R在的基础上的表达要利用vec(X)^R在中位置的规律性，进而找到相应的来实现所以问题表达为：

mincM~]]>

mat(M~)≥0]]>

其中，是vec(b^R)的逆变换，即把列向量变为矩阵；矩阵

其中，

Ai,jR=R(Ai,j)-I(Ai,j)-J(Ai,j)-K(Ai,j)I(Ai,j)R(Ai,j)-K(Ai,j)J(Ai,j)J(Ai,j)K(Ai,j)R(Ai,j)-I(Ai,j)K(Ai,j)-J(Ai,j)I(Ai,j)R(Ai,j)]]>

得到后，提取目标矩阵X^R，得到彩色图像的四元数，进而就得到彩色图像的三通道的值。