[发明专利]一种部分分式分解模块在信号处理、电路设计技术领域的应用方法

说明书

本发明属于信号处理、电路分析技术领域，具体为一种适用于多个高阶极点的系统函数的部分分式分解方法。本发明根据从简至繁的原则，对于一般的系统函数，先对其分子为常数的部分进行分解；然后利用递推关系式，对该系统函数部分分式表达式。本发明避免了微分运算，多项式的除法和方程组的求解运算，只需简单的代数运算就可对一般的函数进行分解，便于计算机实现及手算，可有效对含有多个高阶极点的系统方程进行部分分式分解。

技术领域

本发明属于信号处理、电路分析技术领域，具体涉及一种适用于多个高阶极点的系统函数的部分分式分解方法。

背景技术

拉普拉斯变换法和Z变换法在信号处理、电路分析及数值计算等领域有广泛的应用。采用这两种变换一方面能极大简化运算，另一方面便于在变换域中分析信号的频域特性及系统的稳定性。尤其是在研究线性时不变系统时，它们是十分强大的工具。利用拉普拉斯变换求解系统响应时，它一方面可将微积分方程转化为代数方程，使其运算简单；另一方面它可以自动地把系统的初始条件包含在变换式内，使系统的零输入响应和零状态响应可以同时求出。另外借助系统函数的零极点分析，可以迅速判断系统的因果稳定性，直观地表示出系统函数具有的复频域特性。Z变换则在离散线性时不变系统中起着特别重要的作用，它可以将差分方程转换成代数方程。较之在时域求解差分方程要简便得多，而且其运用范围比离散时间傅立叶变换更广。对系统函数进行拉普拉斯变换和Z后，为求得相应的时域表达式，需进行反拉普拉斯变换和反Z变换。部分分式分解（PFE）是实际运用中，求解反拉普拉斯变换和反Z变换，最简便，运用最多的一种方法。PFE是将有理函数分解成许多次数较低有理函数和的形式。将系统函数进行PFE后，各个有理式的时域表达式，通过查表可直接得到。经典的PFE方法有留数法和待定系数法。然而，这两种在处理含有高阶极点的系统函数时，尤其是含多个高阶极点的系统函数时，并不适用。待定系数法要求建立并求解复杂的代数方程组，方程的建立十分不便，方程的求解也很复杂。留数法由于需要连续求导，计算量大，而且计算机实现时，容易产生较大误差。另外，也有学者提出代数方法用于PFE[1-6]，然而这些方法只适合分解特定的系统函数，大多很难用计算机编程实现。本发明提出了一种新的PFE算法，该算法无需微分计算和求解方程组，计算过程中只涉及简单的代数运算，易于编程实现，且可保持高精度。对假分式代数方程同样适用。

发明内容

本发明的目的是提出一种有效适用于含高阶极点的系统函数的PFE方法。

对于一般的系统函数R(s),记其部分分式分解后的结果为：

（1）

其中，c_ij为留数，e_k为R(s)分解后的多项式系数，N为R(s)的分子的度，M为R(s)极点的个数，K为R(s)的分母的度；d_n为分子的多项式系数，s为自变量, s₀为一个常数，s_i为R(s)的极点, k, n和m_i为幂指数。本发明提出的PFE分解具体步骤如下：

(a)分解其中为的留数；