[发明专利]一种基于四元数的快速求解Stewart并联机构的运动学正解方法

说明书

技术领域

本发明属于机械系统的运动学、动力学与控制研究领域，尤其是一种

Stewart并联机构的正向运动学正解方法。

背景技术

Stewart并联机构(也称Stewart平台)由上下两个平台和六个并联的自由伸缩杆组成，每条伸缩杆通过两个球铰或者一个球铰和一个虎克铰与上下两平台相连。该机构本身的下平台（基座）静止不动，通过控制六个伸缩杆独立运动，可使上平台（动平台）获得需要的位置和姿态，即将六个移动自由度转变为三个位置和三个方向自由度。相比串联机构，它具有一些固有的优势，包括更大的刚度质量比，更高的基频，可以承受相对较大的负载；更强的动态性能和稳定性；以及更高的运动精度，能完成精密级任务。自1965年被提出以来，其运动学、奇异性、工作空间与灵巧性、动力学与控制、平台的设计与开发等方面均得到深入而广泛的研究，现已广泛应用于运动模拟系统、微位移定位装置、可视化触觉装置、工业机器人和医用机器人、天文望远镜等方面。

虽然并联机构的多项优点使其成为高速运动、精密定位等应用场合下（例如加工中心、射电望远镜等）的理想解决方案，然而该机构耦合程度高，运动控制复杂，寻求高精度、低时耗的运动学稳定解是一个研究难点。其逆向运动学问题定义为根据动平台确切的位姿（位置和姿态）求解对应杆长。实际上，该问题并不复杂，六个杆长的表达式独立，能并行计算，很快完成求解。正向运动学问题则是在六个杆长已知的情况下，求解动平台相对基座的位置和姿态，在一般情形下，不具备封闭形式和唯一解。而快速运动学正解在反馈控制、机构奇异性和工作空间分析中具有及其重要的作用，因此解决正向运动学问题是并联机构研究领域内亟待解决的挑战性任务之一。

解决正向运动学的方法有两类：解析法和数值法。在解析法方面，众多学者采用代数消元法、连续法、区间分析等将运动学方程组转化为一个高阶多项式方程，致力于找到该方程的所有可能解，并取得了一些进展，这些解称作Stewart机构的装配模式。但是，至今无法表达出位姿变量的显式形式。况且，找到所有可能解也未完全解决正向运动学问题，仍需进一步在这些解中确定唯一的实际位姿，这是实际应用时必需的。在某些情况下，针对由解析法得到的一个单变量高次代数方程或者非线性方程组，可利用附加传感器获得唯一解，但在实际应用中有所限制，例如昂贵的价格和测量误差等。在数值法方面，牛顿-拉夫逊法被广泛使用，该方法是将非线性代数方程组线性化为线性方程组求解，其收敛域依赖于非线性方程组的性质，若迭代初值位于收敛域内，可获得精确解。也有学者采用神经网络算法获得牛顿-拉夫逊算法所需初值，保证算法的稳定性。直接采用遗传算法、神经网络算法等优化算法求解运动学方程也可获得唯一解，但遗传算法、神经网络算法等均耗时较长，不适合实时性的应用要求。

上述的正向运动学的复杂性在很大程度上取决于该机构的构型、几何尺寸和传感器布局。尽管针对某一简化的构型（例如采用复合球铰、动平台顶点平行布置等）已有很可观的研究成果，但研究一般形式的Stewart平台的正向运动学算法更具有普遍意义。而且，目前已有的若干种数值算法难以使Stewart平台满足高速、实时的工程应用。

故，需要一种新的技术方案以解决上述问题。

发明内容

本发明的目的是针对现有技术存在的不足，提供一种提高计算效率的基于四元数的快速求解Stewart并联机构的运动学正解方法。

为解决上述问题，本发明基于四元数的快速求解Stewart并联机构的运动学正解方法可采用如下技术方案：

一种基于四元数的快速求解Stewart并联机构的运动学正解方法，所述的Stewart并联机构包括下平台、上平台及连接上、下平台的若干并联的伸缩杆，该方法包括如下步骤：

（1）、用四元数表示刚体转动：

任意矢量x能按与单位矢量n平行和垂直的方向分解为和的形式：

x＝(x·n)n+(n×x)×n

矢量x绕轴n转动ω角度后为：

R(ω,n)＝(x·n)n+(n×x)sinω+[(n×x)×n]cosω

用ε＝(ε，ε₀)＝(ε₁ε₂ε₃ε₀)表示一个单位四元数，令ε是一个单位四元数(nsinω/2,cosω/2,)，n是一个单位矢量，R为转动矢量，R³为在三维坐标系中转动矢量集合，对于任意x∈R³，乘积而且与刚体转动矢量R(ω,n)是等价的，通过以下计算证明该定理