[发明专利]一种求解浅水问题模拟间断水流数值的方法

权利要求书

1.一种求解浅水问题模拟间断水流数值的方法，其特征在于，建立模拟间断水流问题的高分辨率数值模型，利用所述模型模拟地形和计算域中带有大梯度解或间断的水流现象，具体步骤如下：

步骤一、建立计算网格，将物理计算区域进行无结构三角形网格分割，得到复数个三角形网格单元，将单一的网格单元作为控制元，其中第i个三角形控制元记为Ω_i；

步骤二、通过守恒型物理量反映每个计算网格的水动力特征，在笛卡尔直角坐标系下，将平面二维浅水运动守恒形式的方程表示为：

U_t+F(U)_x+G(U)_y＝S    (1)；

其中，U为守恒量向量；F，G为通量向量；S为源项向量，t为时间，x和y为笛卡尔坐标系坐标，U_t,F(U)_x,G(U)_y分别表示为时间t和空间x,y方向的偏导数，具体表示为：

U＝[h,uh,vh]^T；

F＝[uh,u²h+gh²/2,uvh]^T；

G＝[vh,uvh,v²h+gh²/2]^T；

S＝[0,-ghb_x,-ghb_y]^T；

其中，T表示向量的转置；u、v分别是x、y方向沿水深平均的流速分量,并且为关于x,y,t的函数；h是水深；g是重力加速度；b_x、b_y分别为河床比降在x、y方向上的分量；

求解上述方程的黎曼解，对公式(1)，令向量函数E＝(F,G)，为梯度算子，将式(1)表示为：

U_t+▽·E＝S    (2)；

采用步骤一中划分的三角形网格单元对计算区域进行离散，在Ω_i上对方程组(2)进行积分，并按逆时针利用Green公式将面积分化为线积分，得：

ddt∫ΩiUdΩ=-Σm=13∫LmE·nmdl+∫ΩiSdΩ---(3);]]>

其中，为时间方向的常微分算子，dΩ是面积分微元，dl是线积分微元，L_m表示第i个三角形单元Ω_i的第m条边，m＝1,2,3,n_m＝(n_mx,n_my)＝(cosθ,sinθ)为L_m的单位外法向量，n_mx,n_my为n_m在x、y方向的分量,θ为外法线方向与水平方向的夹角；

定义单元平均值：U‾i=1|Ωi|∫ΩiUdΩ,S‾i=1|Ωi|∫ΩiSdΩ,]]>其中，|Ω_i|为网格单元面积；

利用两点Gauss求积公式求解式(3)中的线积分：

其中，|L_m|为三角形边界线L_m的长度，G_q为三角形单元边L_m上的Gauss点，为相应的权系数，q为高斯点编号，

构造一个数值通量格式近似替代E(U(G_q,t))，将三角形网格单元边界上内部和外部的变量值分别记为U_L、U_R，将通过Gauss点G_q的通量记为其中，U_L(G_q,t)，U_R(G_q,t)分别为U在Gauss点三角形网格单元内部和外部的值，由此得出控制方程(3)的有限体积半离散化格式：

ddtU‾i=-1|Ωi|Σm=13|Lm|Σq=12ωqE^(UR(Gq,t)UL(Gq,t))·nm+S‾i---(5);]]>

步骤三、求解三角形网格单元边界上的HLL数值通量

步骤四、采用三阶Runge-Kutta时间离散方法对时间方向上的离散进行处理，得出三阶精度的时间离散格式；

步骤五、采用三阶WENO格式重构方法求解U_L(G_q,t)，U_R(G_q,t)；

步骤六、对每个网格单元，利用当前时间层上每个单元的守恒量向量积分平均值，求解下一时刻的守恒量向量积分平均值：

经过步骤五对流体方程时间方向上的的离散后，再对流体方程进行空间离散，表达式为：

dUdt=L(U);]]>

其中，L(U)是空间离散化算子；

设定第n个时间层上的U值为Uⁿ，则经过一个时间步长Δt后，下个时间层的近似值Uⁿ⁺¹表示为：

U⁽¹⁾＝Uⁿ+ΔtL(Uⁿ)；

U(2)=34Un+14U(1)+14ΔtL(U(1));]]>

Un+1=13Un+23U(2)+23ΔtL(U(2));]]>

其中，U⁽¹⁾、U⁽²⁾为中间过渡向量。