[发明专利]基于交错网格Lowrank分解的无条件稳定地震波场延拓方法

权利要求书

1.一种基于交错网格Lowrank算子的无条件稳定有限差分地震波场延拓方法，包括以下步骤：

步骤1：利用一阶速度-应力纵波方程的Fourier积分解构建交错网格上的Lowrank算子

步骤2：利用衰减函数对交错网格Lowrank算子进行衰减约束

步骤3：利用加权最小二乘方法计算有限差分系数

步骤4：利用得到的有限差分系数实现无条件稳定的有限差分波场延拓。

2.根据权利要求1所述的基于交错网格Lowrank算子的无条件稳定有限差分波场延拓方法，其特征在于，步骤1为根据地下介质的速度和密度模型以及波场延拓参数，利用一阶速度-应力纵波方程的Fourier积分解在交错网格上构建波数-空间域的波场延拓算子；对波数-空间域波场延拓算子应用Lowrank分解，得到交错网格Lowrank算子；具体方法如下：

一阶速度-应力纵波方程可以描述地震波场在声波介质中的传播。随速度和密度变化而变化的一阶速度-应力纵波方程为

其中矢量波场u表示质点振动的速度，p表示压力，A为

上式中时间和空间上的偏导数对应的离散形式为

在交错网格上，一阶速度-应力纵波方程的离散形式为

其中

x₁＝(x+Δx/2,z)，x₂＝(x,z+Δz/2)，

t⁺＝t+Δt/2,t^-＝t-Δt/2

利用Lowrank分解，用于计算偏导数的交错网格Lowrank算子为

。

3.根据权利要求1所述的基于交错网格Lowrank算子的无条件稳定有限差分波场延拓方法，其特征在于，步骤2为构造波数相关的光滑衰减函数；利用衰减函数对步骤1构建的交错网格Lowrank算子进行衰减约束；具体方法如下：

利用衰减函数，对交错网格Lowrank算子中进行衰减约束，加入衰减约束后的偏导数算子为

其中taper(k)为构造衰减函数，形式如下

其中中k₀，α和β是三个控制参数，k₀为特征波数，是使得W(x,k)达到稳定条件所限制的临界值的波数，α控制衰减的宽度，β控制衰减的大小。

4.根据权利要求1-3所述的基于交错网格Lowrank算子的无条件稳定有限差分波场延拓方法，其特征在于，步骤3为利用加权最小二乘拟合步骤2提出的加衰减约束交错网格Lowrank算子，得到优化有限差分系数；具体方法如下：

以式中x方向的偏导数为例，利用Fouirer变化的相移性质，可将计算偏导数的Fouirer积分算子转化到空间域求解，在空间域其求解格式具有如下的有限差分形式，

其中p(x,t)为定义在空间位置x和时间t上的波场，x_R＝(x+l¹Δx,z+l²Δz)，x_L＝(x-(l¹-1)Δx,z+l²Δz)，G(x,l)为有限差分的差分系数，可由下面的最小二乘问题求得

其中W(x,k)＝sin(v(x)|k|Δt/2)，G(x,l)为有限差分系数，是依赖于空间位置的，随着不同位置模型参数的不同自适应地变化。w(k)为Gauss型的双峰权函数，取为

其中f₀为地震子波主频，v为介质速度。该最小二乘问题的解为

其中为一个N_k×N_k的对角矩阵，其元素为权重函数。

通过衰减约束保证G给出的有限差分系数对于任意大的时间步长计算都是稳定的，求取G时所用的加权最小二乘方法保证了有限差分系数的精度。

5.根据权利要求1-4所述的基于交错网格Lowrank算子的无条件稳定有限差分波场延拓方法，其特征在于，步骤4为:将步骤3得到的优化差分系数用于波场延拓可实现无条件稳定的地震波场延拓，具体方法如下，

采用步骤3中得到优化有限差分系数，用下式实现波场延拓过程中沿着x轴正方向空间偏导数的计算，

其中x_R＝(x+l¹Δx,z+l²Δz)，x_L＝(x-(l¹-1)Δx,z+l²Δz)，G(x,l)为步骤3中得到优化有限差分系数，l¹,l²＝1,…,L表示有限差分的结构，类似的对于沿着x轴负方向空间偏导数，其有限差分计算格式为

其中x_R＝(x+(l¹-1)Δx,z+l²Δz)，x_L＝(x-l¹Δx,z+l²Δz)。对于沿着z轴正方向交错的空间偏导数，其有限差分计算格式为

其中x_U＝(x+l¹Δx,z+l²Δz)，x_D＝(x+l¹Δx,z-(l²-1)Δz)。对于沿着z轴负方向交错的空间偏导数，其有限差分计算格式为

其中x_U＝(x+l¹Δx,z+(l²-1)Δz)，x_D＝(x+l¹Δx,z-l²Δz)。

将上述计算偏导数的格式带入步骤1中的一阶速度-应力纵波方程的离散形式，得到无条件稳定的有限差分波地震场延拓计算式，

其中

x₁＝(x+Δx/2,z)，x₂＝(x,z+Δz/2)，

t⁺＝t+Δt/2,t^-＝t-Δt/2。