[发明专利]一种基于非线性规划的高阶系统最优降阶方法

权利要求书

1.一种基于非线性规划的高阶系统最优降阶方法，其特征在于：该方法具体步骤如下：

步骤1：降阶问题描述

这里所针对的是高阶单输入单输出线性系统，高维系统的分析和控制律设计都十分困难，通过降阶的方法，使得低阶模型在相同的脉冲输入激励情况下，输出响应尽可能接近原来系统，并在预定频域范围内代替原来系统；

步骤2：系统最优降阶指标

尽管系统降阶的方法各不相同，但是定义一个通用的范数误差指标来衡量降阶前后系统传递函数输出品质差异；对比分析范数误差的各个组成部分，要求两个系统在降阶模型传递函数G_m(s)的极点镜像对称处即点处越接近越好；

步骤3：Arnoldi降阶方法

基于krylov子空间的Arnoldi降阶方法，在不计算传递函数展开式各项系数的情况下，满足项匹配的要求；给出原系统的状态矩阵A,B,C，输入矩阵B，输出矩阵C，插值点σ＝{σ₁,σ₂,…,σ_m}，降阶误差阈值ε＝10^-8，初始矩阵V_j＝[]，初始下标变量j＝0；经过降阶算法，先构造krylov投影子空间V，之后得到降阶模型A_m＝V^TAV,B_m＝V^TB,C_m＝CV；式中符号说明如下：A_m代表降阶以后的状态矩阵，B_m代表降阶以后的输入矩阵，C_m代表降阶以后的输出矩阵；

步骤4：非线性规划求解最优插值点

对于不同的插值点，采用Arnoldi降阶算法得到的降阶模型是不一样的，因此对于原来系统的逼近程度也是不一样的，如果采用传统的牛顿迭代方法，只能求解得到一个插值点；但是通过非线性规划函数Fmincon能找到一个插值点集合，满足系统最优降阶指标所定义的三个必要条件；求出插值点对应的特征方程系数向量{P₁,P₂,…,P_m}，然后利用Matlab自带的Roots()函数求解对应的根即为插值点{σ₁,σ₂,…,σ_m}，然后采用Arnoldi降阶方法，求出所有插值点对应的降阶模型，使得二范数指标η＝||G(s)-G_m(s)||₂最小的插值点，为需要求解的最优插值点；最优插值点对应的降阶模型，即为系统最优降阶模型；式中符号说明如下：G(s)和G_m(s)分别代表原来高阶系统的传递函数和降阶以后系统的传递函数，||·||₂表示·的二范数；

步骤5：仿真实验检验降阶性能

为了验证所提出的系统最优降阶方法的有效性，检验降阶后系统的响应品质和原模型的偏差，利用matlab7.0仿真软件，进行仿真实验；首先选取一个4阶随机模型，将其降低为1阶，分析发现找到了多个插值点，克服了牛顿迭代方法只能找到一个插值点的缺点，并且在低频和高频段都有较好的逼近效果，之后选取一个标准的测试模型，Build PDE，原来高阶系统n＝120，降阶为m＝6的低阶系统；

步骤6：设计结束

整个设计过程分为六大步骤：第一步确定了高阶线性系统降阶的目的和数学描述；第二步确立了系统降阶的误差范数指标，为最优降阶方法的提出做准备；第三步得到了基于krylov子空间的Arnoldi降阶方法；第四步提出了基于非线性规划的最优插值点求解方法，得到最优降阶模型；第五步是对设计的系统最优降阶方法进行仿真验证；经过上述各步骤后，设计结束。