[发明专利]一种基于非线性规划的高阶系统最优降阶方法

说明书

技术领域

本发明涉及一种基于非线性规划的高阶系统最优降阶方法，它是一种线性时不变系统的最优降阶方法，是针对单输入单输出系统给出的一种使得降阶前后系统频域响应误差最小的模型降阶方法，用于处理高阶线性系统，简化控制律设计，属于自动控制技术领域。

背景技术

伴随着现代工程技术的飞速发展，出现了诸如飞行控制系统、电力系统、超大规模集成电路等复杂的高阶系统。描述这些线性系统的微分方程个数众多，给系统的数值仿真和控制设计带来巨大的挑战。通过对这些高阶系统进行有效的模型降阶处理可以降低系统分析的难度，减少计算负载，方便仿真模拟。降阶是指通过较少个数的微分方程描述的低阶系统，在特定的频率区间上近似高阶系统，保证降阶前后两个系统的动态响应尽可能接近。

系统降阶的关键在于如何找到一个简单的低阶系统来逼近复杂的高阶系统。两个系统的逼近程度可以通过二者在频域上的传递函数脉冲响应偏差来衡量。现有的模型降方法包括Pade近似法、Routh近似法、奇异值分解的平衡法、Krylov子空间模型降阶方法。其中前两种方法基于系统的暂态响应或者稳态响应，大大限制了其应用范围。奇异值分解的平衡法根据原系统的奇异值进行截断降解，能够确保降阶后系统的稳定性，但是在实施过程中需要求解两个高阶次的Lyapunov方程。Krylov子空间方法是最常用的降阶方法，它通过构造适当的变换矩阵，使得变换矩阵的列向量所张成的空间能包含在适当的Krylov子空间中，保证得到的降阶系统传递函数能与原系统传递函数在特定插值点处的项匹配。由于存在无穷多个可行的插值点，在不同的插值点处采用同样的Krylov子空间降阶方法得到的模型是不一样的，相应的系统响应品质和原来的系统差别也是很大的。可以通过非线性规划方法，求解最优插值点，找到系统的最优降阶模型。

发明内容

1、发明目的

本发明的目的是提供一种基于非线性规划的高阶系统最优降阶方法，它是：针对单输入单输出的线性是不变系统，构建系统降解的误差指标，利用非线性规划策略求解满足最优指标的降阶插值点，最后得到最优降阶模型的传递函数。

2、技术方案

为了达到上述目的，本发明结合流程框图1中的步骤，具体介绍该设计方法的技术方案。

本发明是一种基于非线性规划的高阶系统最优降阶方法，该方法具体步骤如下：

步骤1：降阶问题描述

本发明所针对的是高阶单输入单输出线性系统。高维系统的分析和控制律设计都十分困难。通过适当的降阶方法，使得低阶模型在相同的脉冲输入激励情况下，输出响应尽可能接近原来系统，在一定频域范围内代替原来系统。

步骤2：系统最优降阶指标

尽管系统降阶的方法各不相同，但是可以定义一个通用的范数误差指标来衡量降阶前后系统传递函数输出品质差异。对比分析范数误差的各个组成部分，要求两个系统在降阶模型传递函数G_m(s)的极点镜像对称处即点处越接近越好。

步骤3：Arnoldi降阶方法

基于krylov子空间的Arnoldi降阶方法，可以在不计算传递函数展开式各项系数的情况下，满足项匹配的要求。给出原系统的状态矩阵A,B,C，输入矩阵B，输出矩阵C，插值点σ＝{σ₁,σ₂,…,σ_m}，降阶误差阈值ε＝10^-8，初始矩阵V_j＝[]，初始下标变量j＝0。经过降阶算法，先构造krylov投影子空间V，之后得到降阶模型A_m＝V^TAV,B_m＝V^TB,C_m＝CV。式中符号说明如下：A_m代表降阶以后的状态矩阵，B_m代表降阶以后的输入矩阵，C_m代表降阶以后的输出矩阵。

步骤4：非线性规划求解最优插值点