[发明专利]一种谣言传播模型中的极限环幅度控制方法

权利要求书

1.一种谣言传播模型中的极限环幅度控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

(1)、建立谣言传播模型

将logistic增长规律引入到SIR谣言传播模型上，建立谣言传播模型：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{\mathrm{dS}}{\mathrm{dt}}=\mathrm{\γS}(1-\frac{S}{k})-\mathrm{\αSI}-\mathrm{\μS}\\ \frac{\mathrm{dI}}{\mathrm{dt}}=\mathrm{\αSI}-\mathrm{\βI}-\mathrm{\μI}\\ \frac{\mathrm{dR}}{\mathrm{dt}}=\mathrm{\βI}-\mathrm{\μR}\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中，S表示健康节点，I表示传播节点，R表示免疫节点，α表示当谣言传播节点与健康节点接触时健康节点以概率α变为传播节点，β表示当谣言传播节点与免疫节点接触时传播节点以概率β变为免疫节点，μ表示单位时间移出现有网络的用户数量，将网络中所有的节点看成一个群体，则γ为这个群体的内在增长率且γ＞μ，k为环境容量；

设α是固定的，则随着传播节点I的增加，而健康节点S转变为传播节点I的数量达到饱和，用分段函数T(I)表示为：

其中，I₀表示当健康节点S转变为传播节点I的数量达到饱和时的传播节点I的个数，用T(I)来替代谣言传播模型中的αI，则谣言传播模型可以表示为：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{\mathrm{dS}}{\mathrm{dt}}=\mathrm{\γS}(1-\frac{S}{k})-\mathrm{ST}\left(I\right)-\mathrm{\μS}\\ \frac{\mathrm{dI}}{\mathrm{dt}}=\mathrm{ST}\left(I\right)-\mathrm{\βI}-\mathrm{\μI}\\ \frac{\mathrm{dR}}{\mathrm{dt}}=\mathrm{\βI}-\mathrm{\μR}\end{array}\right.---\left(2\right)$

(2)、对谣言传播模型进行仿真

通过预先选取的参量k^*,γ^*,β^*,μ^*,α₀对谣言传播模型(2)进行仿真，使谣言传播模型发生Hopf分岔，在平衡点附近产生极限环，得到I＜I₀时的未受控谣言传播模型，即：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{\mathrm{dS}}{\mathrm{dt}}={\mathrm{\γ}}^{*}S(1-\frac{S}{k^{*}})-{\mathrm{\α}}_0\mathrm{SI}-{\mathrm{\μ}}^{*}S\\ \frac{\mathrm{dI}}{\mathrm{dt}}={\mathrm{\α}}_0\mathrm{SI}-{\mathrm{\β}}^{*}I-{\mathrm{\μ}}^{*}I\\ \frac{\mathrm{dR}}{\mathrm{dt}}={\mathrm{\β}}^{*}I-{\mathrm{\μ}}^{*}R\end{array}\right.---\left(3\right)$

当谣言传播模型发生分岔时，设平衡点处的雅可比矩阵为T^*，T^*的三个特征值分别为λ₁(α₀)，λ₂(α₀)和λ₃(α₀)，且λ₁(α₀)和λ₂(α₀)是共轭复数，λ₃(α₀)是实数；

特征值λ₁(α₀)对应的特征向量为v₁，Imv₁表示v₁的虚部，Rev₁表示v₁的实部，特征值λ₃(α₀)对应的特征向量为v₃；从而定义出矩阵T₀，T₀＝(Imv₁,Rev₁,v₃)；

(3)、计算未受控谣言传播模型的极限环曲率系数σ₁

(3.1)、对未受控谣言传播模型进行线性变换

对公式(3)中的状态变量进行线性变换，即：

$\left[\begin{array}{c}S\\ I\\ R\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{S}^{*}\\ I^{*}\\ R^{*}\end{array}\right]+T_0\left[\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ y_3\end{array}\right]---\left(4\right)$

其中，(S^*,I^*,R^*)^T是谣言传播模型的平衡点处，S、I、R三个状态变量的值组成的向量，()^T表示转置；y₁,y₂,y₃分别表示S、I、R经过线性变换之后得到的三个状态变量；

公式(3)经过线性变化后，得到Jordan标准型，即：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{{\mathrm{dy}}_1}{\mathrm{dt}}=-w_3{y}_2+Q_1(y_1,y_2,y_3,{\mathrm{\α}}_0)\\ \frac{{\mathrm{dy}}_2}{\mathrm{dt}}=w_3{y}_1+Q_2(y_1,y_2,y_3,{\mathrm{\α}}_0)\\ \frac{{\mathrm{dy}}_3}{\mathrm{dt}}=w_4{y}_3+Q_3(y_1,y_2,y_2,{\mathrm{\α}}_0)\end{array}\right.---\left(5\right)$

其中w₃，w₄均为常数；

(3.2)、计算极限环曲率系数σ₁

${\mathrm{\σ}}_1=\mathrm{Re}\{\frac{g_{20}{g}_{11}}{2w_3}i+G_{110}{w}_{11}+\frac{G_{21}+G_{101}{w}_{20}}{2}\}---\left(6\right)$

其中，Re{}为取实部；i表示虚部；

$g_{20}=\frac{1}{4}(\frac{{\∂}^2{Q}_1}{{{\∂y}_1}^2}-\frac{{\∂}^2{Q}_1}{{{\∂y}_2}^2}+2\frac{{\∂}^2{Q}_2}{{\∂y}_1{\∂y}_2}+i(\frac{{\∂}^2{Q}_2}{{{\∂y}_1}^2}-\frac{{\∂}^2{Q}_2}{{{\∂y}_2}^2}-2\frac{{\∂}^2{Q}_1}{{\∂y}_1{\∂y}_2}))---\left(7\right)$

$g_{11}=\frac{1}{4}(\frac{{\∂}^2{Q}_1}{{{\∂y}_1}^2}-\frac{{\∂}^2{Q}_1}{{{\∂y}_2}^2}+i(\frac{{\∂}^2{Q}_2}{{{\∂y}_1}^2}+\frac{{\∂}^2{Q}_2}{{{\∂y}_2}^2}))---\left(8\right)$

$g_{110}=\frac{1}{2}(\frac{{\∂}^2{Q}_1}{{\∂y}_1{\∂y}_3}+\frac{{\∂}^2{Q}_1}{{\∂y}_2{\∂y}_3}+i(\frac{{\∂}^2{Q}_2}{{\∂y}_1{\∂y}_3}-\frac{{\∂}^2{Q}_1}{{\∂y}_2{\∂y}_3}))---\left(9\right)$

$g_{101}=\frac{1}{2}(\frac{{\∂}^2{Q}_1}{{\∂y}_1{\∂y}_3}-\frac{{\∂}^2{Q}_2}{{\∂y}_2{\∂y}_3}+i(\frac{{\∂}^2{Q}_2}{{\∂y}_1{\∂y}_3}+\frac{{\∂}^2{Q}_1}{{\∂y}_2{\∂y}_3}))---\left(10\right)$

$w_{11}=-\frac{1}{4{\mathrm{\λ}}_3\left({\mathrm{\α}}_0\right)}(\frac{{\∂}^2{Q}_3}{{{\∂y}_1}^2}+\frac{{\∂}^2{Q}_3}{{{\∂y}_2}^2})---\left(11\right)$

$w_{20}=-\frac{1}{4(2i{w}_3-{\mathrm{\λ}}_3\left({\mathrm{\α}}_0\right))}(\frac{{\∂}^2{Q}_3}{{{\∂y}_1}^2}-\frac{{\∂}^2{Q}_3}{{{\∂y}_2}^2}-2i\frac{{\∂}^2{Q}_3}{{\∂y}_1{\∂y}_2})---\left(12\right)$

$G_{21}=\frac{1}{8}(\frac{{\∂}^3{Q}_1}{{{\∂y}_1}^3}+\frac{{\∂}^3{Q}_1}{{\∂y}_1{{\∂y}_2}^2}+\frac{{\∂}^3{Q}_2}{{{\∂y}_1}^2{\∂y}_2}+\frac{{\∂}^3{Q}_2}{{{\∂y}_2}^3}+i(\frac{{\∂}^3{Q}_2}{{{\∂y}_1}^3}+\frac{{\∂}^3{Q}_2}{{\∂y}_1{{\∂y}_2}^2}-\frac{{\∂}^3{Q}_1}{{{\∂y}_1}^2{\∂y}_2}-\frac{{\∂}^3{Q}_1}{{{\∂y}_2}^3}))---\left(13\right)$

在上述公式(7)～(13)中，Q₁,Q₂和Q₃分别是公式(5)中Q₁(y₁,y₂,y₃,α₀)，Q₂(y₁,y₂,y₃,α₀)和Q₃(y₁,y₂,y₃,α₀)的缩写；

(4)、将未受控的谣言传播模型转化为受控谣言传播模型

设计一个平方反馈控制函数其中，k₂为控制参数，为常数；

将平方反馈控制函数U加入到公式(3)中的第二个方程，得到受控谣言传播模型，且加入平方反馈控制函数之后，要保证谣言传播模型的平衡点位置和分岔点位置都不改变；

(5)、计算受控谣言传播模型的极限环曲率系数

(5.1)、对受控谣言传播模型进行线性变换

对公式(14)中的状态变量进行线性变换，即：

$\left[\begin{array}{c}S\\ I\\ R\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{S}^{*}\\ I^{*}\\ R^{*}\end{array}\right]+T_0\left[\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ y_3\end{array}\right]---\left(15\right)$

对平方反馈控制函数U进行线性变换，即得到：

$\left\{\begin{array}{c}{\tilde{U}}_1=w_1{k}_2{y_1}^2\\ {\tilde{U}}_2=0\\ {\tilde{U}}_3=w_2{k}_2{y_1}^2\end{array}\right.---\left(16\right)$

其中，w₁和w₂是常数；

公式(14)经过线性变化后，得到Jordan标准型，即：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{{\mathrm{dy}}_1}{\mathrm{dt}}=-w_3{y}_2+Q_1(y_1,y_2,y_3,{\mathrm{\α}}_0)+{\tilde{U}}_1\\ \frac{{\mathrm{dy}}_2}{\mathrm{dt}}=w_3{y}_1+Q_2(y_1,y_2,y_3,{\mathrm{\α}}_0)+{\tilde{U}}_2\\ \frac{{\mathrm{dy}}_3}{\mathrm{dt}}=w_4{y}_3+Q_3(y_1,y_2,y_3,{\mathrm{\α}}_0)+{\tilde{U}}_3\end{array}\right.---\left(17\right)$

其中，w₃，w₄均为常数，可以表示为：

${\tilde{U}}_q=\underset{m,n=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{C}_{\mathrm{mn}}^q{y}_m{y}_n+\underset{m,n,l=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{D}_{\mathrm{mnl}}^q{y}_m{y}_n{y}_l(q=\mathrm{1,2,3})---\left(18\right)$

表示平方反馈控制函数线性变换后得到的平方项的控制增益，表示平方反馈控制函数线性变换后得到的三次方项的控制增益；

(5.2)、计算极限环曲率系数

${\widetilde{\mathrm{\σ}}}_1={\mathrm{\σ}}_1+\mathrm{Re}\left\{\mathrm{\ψ}\right\}+\mathrm{\φ}---\left(19\right)$

其中，σ₁是未受控谣言传播模型的极限环曲率系数，ψ和φ分别为：

$\begin{array}{c}\mathrm{\ψ}=\frac{w_{20}}{4}(C_{13}^1-C_{23}^2)+\frac{w_{20}}{4}(C_{13}^2+C_{23}^1)i+\frac{g_{11}}{4w_3}(C_{12}^1+i{C}_1)\\ -\frac{g_{11}+g_{20}}{4w_3}(C_{11}^2-i{C}_{11}^1)+\frac{g_{11}-g_{20}}{4w_3}(C_{22}^2-i{C}_{22}^1)-\frac{G_{110}}{2{\mathrm{\λ}}_3\left({\mathrm{\α}}_0\right)}(C_{11}^3+C_{22}^3)\\ +\frac{G_{101}({\mathrm{\λ}}_3\left({\mathrm{\α}}_0\right)+2w_{3}i)(C_{22}^3-C_{11}^3)+G_{101}({\mathrm{\λ}}_3\left({\mathrm{\α}}_0\right)i-2w_3)C_{12}^3}{4({{4w}_3}^2+{{\mathrm{\λ}}_3}^2\left({\mathrm{\α}}_0\right))}\\ =-\frac{g_{11}+g_{20}}{4w_3}(C_{11}^2-i{C}_{11}^1)\end{array}---\left(20\right)$

$\begin{array}{c}\mathrm{\φ}=\frac{1}{8}({3D}_{111}^1+D_{122}^1+D_{112}^2+3D_{222}^2)+\frac{w_{11}}{2}(C_{13}^1+C_{23}^2)+\frac{1}{4w_3}(C_{22}^1{C}_{22}^2-C_{11}^1{C}_{11}^2)\\ +\frac{1}{8w_3}(C_{12}^1(C_{11}^1+C_{22}^1)-C_{12}^2(C_{11}^2+C_{22}^2))-\frac{1}{4{\mathrm{\λ}}_3\left({\mathrm{\α}}_0\right)}(C_{11}^3+C_{22}^3)(C_{13}^1+C_{23}^2)\\ -\frac{{\mathrm{\λ}}_3\left({\mathrm{\α}}_0\right)C_{12}^3+2w_3(C_{22}^3-C_{11}^3)}{8({{4w}_3}^2+{{\mathrm{\λ}}_3}^2\left({\mathrm{\α}}_0\right))}(C_{13}^2+C_{23}^1)+\frac{C_{12}^3+{\mathrm{\λ}}_3\left({\mathrm{\α}}_0\right)(C_{22}^3-C_{11}^3)}{8(4{w_3}^2+{{\mathrm{\λ}}_3}^2\left({\mathrm{\α}}_0\right))}(C_{13}^1-C_{23}^2)\end{array}---\left(21\right)$

(6)、控制极限环的幅度

当α＜α₀且|α-α₀|＜＜1时，式(17)的极限环幅度可以近似地表示为：

${\tilde{R}}_a=\sqrt{\frac{{\mathrm{\ϵ}}^{\′}\left({\mathrm{\α}}_0\right)}{{\widetilde{\mathrm{\σ}}}_1}(\mathrm{\α}-{\mathrm{\α}}_0)}=\sqrt{-\frac{{\mathrm{\ϵ}}^{\′}\left({\mathrm{\α}}_0\right)}{a^{*}{k}_2+b^2}(\mathrm{\α}-{\mathrm{\α}}_0)}---\left(22\right)$

其中，a^*和b^*为常数，ε′(α₀)是特征值λ₁(α₀)的实部对α在α₀处求导数，其表达式为：

${\mathrm{\ϵ}}^{\′}\left({\mathrm{\α}}_0\right)=\frac{\∂\mathrm{\ϵ}\left(\mathrm{\α}\right)}{\∂\mathrm{\α}}{|}_{\mathrm{\α}={\mathrm{\α}}_0}$

再通过调整控制参数k₂来控制极限环的幅度大小。