[发明专利]基于高斯混合模型的低秩图像修复方法

说明书

技术领域

本发明属于图像处理技术领域，特别是一种图像修复方法，可用于对具有低秩结构的受损自然图像修复。

背景技术

图像修复是图像处理领域中一个重要的分支，它试图利用受损图像仅有的信息来恢复出原始图像，这对于很多领域都有着重要的应用价值。近年来，随着低秩理论的进步，低秩图像修复问题也受到了越来越多的关注。

低秩图像修复往往被建模成秩最小化问题。假设原始图像用二维矩阵来表示，矩阵表示受损后的图像，则低秩图像修复可以建模成如下公式：

其中rank(·)是对矩阵X求秩算子，Ω是未受损像素点位置集合，是正交投影算子，公式如下：

由于求秩运算是NP-hard问题，所以求解秩最小问题是非凸优化问题。为了提高秩最小问题的可解性，Candès等人提出了利用核范数来代替求秩算子，并且证明了，核范数是求秩算子最紧致的凸逼近，则上述模型可转化为如下公式：

其中，||X||_*定义为X的核范数。解决核范数最小化的方法有很多，比如奇异值阈值法SVT、核范数最小二乘法NNLS、鲁棒主成份分解法RPCA等等。为了更好的逼近真实图像的秩，Hu等人提出了截断的核范数TNNR，并且给出了三种求解方法：TNNR-ADMM，TNNR-APGL和TNNR-ADMMAP。实验证明，TNNR比基于核范数的方法得到更精确的修复结果。

以上提到的方法都是从低秩矩阵填充的角度对图像修复问题进行建模的，但是自然图像很少是严格低秩的，运用秩最小化必然会损失掉图像内在的结构和丰富的纹理信息。所以一个鲁棒的低秩图像修复方法不仅要能够抓住图像整体的低秩结构，还要使得图像的细节信息得到保留。

近年来，非局部相似性的运用使得很多图像处理的性能有了质的提升。研究表明，图像中有很多结构和纹理相似的小图像块，利用这些图像块的相似性，对重构图像的特性加以约束，可以明显地提升图像重构的效果。Yu等人提出的分段线性估计器PLE就是典型的利用非局部相似性解决图像逆问题的方法。它采用高斯混合模型来对不同类型的图像块进行建模，通过一个线性估计器，来对相似的图像块进行聚类，之后，用属于同一类的图像块对该类的高斯分布进行参数的更新，交替以上两个步骤，直到得到满意结果。随着低秩技术的发展，很多非局部模型也嵌入了低秩的约束。Dong将相似图像块的系数矩阵替换成一个对角矩阵和一个右乘矩阵，通过稀疏性的假设，将系数求解问题转换成了低秩逼近的问题。Wang在解决图像超分辨问题时，利用相似图像块构造一个增广矩阵，在假设低分辨像素和高分辨像素具有相同线性表示系数的条件下，证明该增广矩阵具有低秩性，从而将图像超分辨问题转化成低秩矩阵求解问题。此外，Dong基于非局部相似性和低秩假设提出了一种压缩感知重构方法，叫做NLR-CS，NLR-CS，其效果优于目前许多优秀的压缩感知重构方法。虽然，以上提出的模型都将低秩与非局部相似性结合起来，但是，所有的方法都是利用低秩正则来约束相似的图像块。也就是说，这些模型利用低秩正则来增强图像块之间的非局部相似性，而没有考虑到整个图像潜在的低秩结构，从而导致修复结果的整体结构性不强，不能较好地保持图像中的低秩信息。

发明内容

本发明提出一种基于高斯混合模型的低秩图像修复方法，其目的在于构建一个鲁棒有效的图像修复模型，以充分发掘图像潜在的低秩结构，并保留图像的细节信息，获得更精确的修复结果。

实现本发明目的技术方案包括如下步骤：

(1)输入受损图像Y，构造如下修复图像模型：

其中，α是常数，X是待求解的修复图像，||X||_*是X的核范数，y_i是从受损图像Y中提取的第i个图像块，x_i是从待求解的修复图像X中提取的第i个图像块，其中，1≤i≤N，N是图像块数量，U_i是每个图像块对应的退化算子，是属于第j个高斯分布的所有图像块标号的集合，是图像块x_i服从的高斯分布，Ω是受损像素点位置的集合，是正交投影算子，其中，下标m,n表示矩阵的第m行、第n列的元素；

(2)设迭代计数器k＝0，利用迭代收缩阈值方法对待求解的修复图像X初始化，得到初始化修复结果X^k；

(3)初始化修复图像块的J个高斯分布其中为均值向量，为协方差矩阵；

(4)将修复结果X^k和高斯分布代入修复图像模型进行修复图像的3次迭代求解: