[发明专利]一种基于矩阵摄动理论的复模态随机特征值直接方差求解方法

权利要求书

1.一种适用于非对称结构系统的基于矩阵摄动理论的复模态特征值变化范围求解方法，其特征在于：所述方法适用于具有任意阻尼的系统、气动弹性颤振系统、非保守力作用下的动力系统和阻尼陀螺控制系统的非对称结构系统；所述非对称结构系统的含义是指结构系统中的质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵中至少有一个是不对称的；

包括以下步骤：

第一步：在非对称结构系统中经过微扰，并且非对称结构系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵发生变化之后，通过比较特征方程等式两边ε的同次幂系数，并且考虑复模态的正交关系式，得到非对称结构系统的特征值和特征向量的一阶摄动量的表达式；第二步：基于第一步中建立的复模态结构特征值和相应特征向量的一阶摄动量的表达式，将特征方程中的各结构参数即参数矩阵，包括刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵以及特征值、特征向量都分成确定性部分和随机扰动部分，在对复特征值平方(si)2求期望的基础上，得到复特征值si的方差Var(si)的表达式，建立起复模态特征值变化范围；

第三步，对第二步得到的非对称结构的复特征值si的方差Var(si)，进行分析验证，验证所得的Var(si)是否在设计使用工况下非对称结构特征值的许用范围内，直至Var(si)满足阻尼的系统、气动弹性颤振系统、非保守力作用下的动力系统和阻尼陀螺控制系统的使用工况的要求；

所述第一步具体实现如下：

(11)确定非对称系统结构振动的基本方程{yj}T[M(si+sj)+C]{xi}＝δij，其中{yj}为左特征向量，{xi}为右特征向量，M为质量矩阵，C为阻尼矩阵，si和sj为特征方程中的不同阶数的特征根；

(12)使用复模态的矩阵摄动方法，确定复模态特征值的一阶摄动量以及复模态特征向量的一阶摄动量其中s0表示未经扰动的初始系统的复特征值，{v0}和{u0}分别表示初始系统的左、右状态特征向量，和分别代表初始系统的复特征值和相应特征向量的一阶摄动量，和分别表示初始系统的左、右特征向量，M1，C1，K1分别表示质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵的一阶扰动量，式中的上角标i和s表示各参数的第i阶和第s阶；

所述第二步具体实现如下：

(21)将特征方程中的各结构参数矩阵包括刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵、特征值以及特征向量均分成确定性部分和随机扰动部分，其中下角标d表示各参数的确定性部分，下角标r表示各参数的随机扰动部分，ε表示一个小参数K＝Kd+εKr，M＝Md+εMr，C＝Cd+εCr，A＝Ad+εAr，B＝Bd+εBr，

通过以上的表述，为下一步对各结构参数矩阵的期望和方差运算作准备；

(22)结合第一步的求解方法，进行特征值的求解，得到特征值的随机部分和特征向量的随机部分

s r i = - { y d j } T ( ( s d i ) 2 M r + s d i C r + K r ) { x d i } , ]]>

{ u r i } = Σ s = 1 2 N h i s 1 { u d s } = - Σ s = 1 , i = 1 , s ≠ i 2 N [ 1 s d i - s d s { v d s } T ( B r + s d i A r ) { u d i } ] { u d s } - [ 1 2 { v d i } T A r { u d i } ] { u d i } . ]]>

(23)由上一步获得的特征值的随机部分和特征向量的随机部分的表达式，结合概率理论，得到非对称系统复特征值扰动量的方差：

V a r ( s r i ) = E [ ( s r i ) 2 ] = E [ ( - { y d i } T ( ( s d i ) 2 M r + s d i C r + K r ) { x d i } ) 2 ] = E [ ( { y d i } T ( ( s d i ) 2 M r + s d i C r + K r ) { x d i } ) 2 ] = ( s d i ) 4 E [ ( { y d i } T M r { x d i } ) 2 ] + ( s d i ) 2 E [ ( { y d i } T C r { x d i } ) 2 ] + E [ ( { y d i } T K r { x d i } ) 2 ] ]]>

(24)根据上一步获得的复特征值扰动量的方差，进一步整理，得到复特征值si的方差Var(si)的表达式：

V a r ( s i ) = ϵ 2 V a r ( s r i ) = ϵ 2 ( Θ 2 - 4 Λ 2 ) E ( M ~ a 2 - M ~ b 2 ) + Θ E ( C ~ a 2 - C ~ a 2 ) + E ( K ~ a 2 - K ~ b 2 ) - 4 Λ E ( M ~ a M ~ b ) - 4 Λ E ( C ~ a C ~ b ) + iϵ 2 2 ( Θ 2 - 4 Λ 2 ) E ( M ~ a M ~ b ) + 2 Θ E ( C ~ a C ~ b ) + 2 E ( K ~ a K ~ b ) + 4 Λ Θ E ( M ~ a 2 - M ~ b 2 ) + 2 Λ E ( C ~ a 2 - C ~ b 2 ) , ]]>

其中下角标d1和d2分别表示各参数的实数部分和复数部分。